ln √x’in (ln kök x) Türevi ve İntegrali Nedir? (Detaylı Anlatım)

Herkese iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere ln √x’in türevi ve integrali nedir onu paylaşacağız. Ayrıca ln kök x’in türevinin ve integralinin nasıl alındığını adım adım anlatacağız.

Türev ve integral matematiğin en önemli konularından birisidir diye daha evvel de söylemiştik. Yine bu yazımızda en çok merak edilen türev integral sorularından birisinin çözümünü sizlere paylaşacağız. Önceden ln(x)’in türevi ve integralini anlatmıştık. Şimdi ise ln(√x) ‘in türev ve integralini kanıtıyla birlikte anlatacağız.

$ln(\sqrt{x})$ Türevi Nedir ve Nasıl Alınır?

Öncelikle ln kök x’in türevini almak için ln türev formülünü kullanabiliriz. Yani mesela ln(x)’in türevi nasıl $\frac{x’}{x}$ bu şekilde üste türevi alta kendisi şeklinde yazılıyorsa burada da $ln'(\sqrt{x})=\frac{(\sqrt{x})’}{\sqrt{x}}$ şeklinde yazabiliriz. Fakat ayrıca başka bir yöntemi daha var. Şimdi 2 yöntemi de anlatalım.

Türevi için 1. yöntem;

İlk yöntem olarak üstte dediğimiz gibi ln türev formülünden faydalanacağız. Hemen anlatıma geçelim.

==> $ln'(\sqrt{x})=\frac{(\sqrt{x})’}{\sqrt{x}}$

==> $ln'(\sqrt{x})=\frac{\frac{1}{2.\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

==> $ln'(\sqrt{x})=\frac{1}{2x}$

Yani cevabımız $\frac{1}{2x}$ çıkmış olur.

Türevi için 2. yöntem;

İkinci yöntem biraz daha kolay diyebiliriz. Burada da ln kök x ifadesindeki kök x’i $x^{\frac{1}{2}}$ şeklinde yazıyoruz. Ardından 1/2’yi ln kuralından başa indiriyoruz. Buradan da sonucumuz $\frac{1}{2}.ln(x)$ ‘in türevi olmuş olur. Buradan da cevap $\frac{1}{2x}$ olmuş olur. Hemen adım adım anlatıma geçelim.

==> $\frac{d}{dx}.ln(\sqrt{x})$

==> $\frac{d}{dx}.ln(x^{\frac{1}{2}})$

==> $\frac{1}{2}.\frac{d}{dx}.ln(x)$

==> $\frac{1}{2}.\frac{1}{x}$

==> $\frac{1}{2x}$

Yani cevabımız gördüğünüz gibi $\frac{1}{2x}$ çıkmış oluyor.

$ln(\sqrt{x})$ İntegrali Nedir ve Nasıl Alınır?

Şimdi $ln(\sqrt{x})$ ‘in integralini bulalım. Aynı şekilde ispatlı biçimde adım adım ln kök x’in integrali nedir onu çözelim.

==> $\int{ln(\sqrt{x}).dx}$

==> $\int{ln(x^{\frac{1}{2}}).dx}$

==> $\int{\frac{1}{2}.ln(x).dx}$

==> $\frac{1}{2}\int{ln(x).dx}$

==> $\frac{1}{2}\int{1.ln(x).dx}$ Buradan integraldeki LAPTÜ kuralını uyguluyoruz. Yani u dv şeklinde parçaya bölerek yaptığımız integral kuralını uygulayacağız.

==> $\int{u.dv}=u.v-\int{v.du}$ bu formül için Laptü’yü uygularsak,

==> $u=ln(x)$ –> $du=\frac{1}{x}.dx$ olur. Aynı şekilde,

==> $dv=1.dx$ –> $v=x$ olmuş olur. Buradan da u ve dv’leri üstteki formülde yerine koyarsak yeni integralimiz,

==> $\frac{1}{2}.(ln(x).x-\int{x.\frac{1}{x}.dx})$ şeklinde olur. Buradan da artık kolaylıkla integral çözümü yapabiliriz.

==> Yani $\frac{1}{2}.(ln(x).x-x)$ bu şekilde çıkmış olur.

==> Sonuç olarak cevabımız $\frac{x}{2}.(ln(x)-1)+c$ olmuş olur.

NOT = Arkadaşlar integral bölümünde biraz karışmış olabilir. Ama ben adım adım anlatmaya çalıştım. Yani en başından güzelce takip ederseniz çözümü tamamen anlayacaksınız.

ln kök x’in türevi ve integrali bu şekildedir. Elimizden geldiğince adım adım anlatmaya çalıştık. Eğer anlamadığınız yerler olursa yorum bölümünden lütfen yazınız. Teşekkürler iyi çalışmalar dileriz…