1/x’in (1 bölü x) Türevi ve İntegrali Nedir?

Hepinize iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere 1/x’in (1 bölü x’in) türevini ve integralini paylaşacağız. Tabii ki uzun çözümleriyle anlatım yapacağız direk olarak sonucu paylaşmayacağız.

1/x’in Türevi (ispatıyla birlikte);

Öncelikle 1 bölü x veya benzeri bir ifadenin türevi alınacağı zaman bunu $x^{-1}$ şeklinde yazmamız gerekmektedir. Yani paydayı üst olarak yazmalıyız ki böylelikle daha kolay türev ve integral alabilelim.

$\frac{1}{x}$ ifadesini $x^{-1}$ şeklinde yazdıktan sonra artık işimiz daha da kolay oldu. Türevde üssü yanına çarpı olarak yazıp üssü 1 azaltma vardı bildiğiniz gibi. O zaman sırayla işlemimizi yapalım.

1-) $\frac{1}{x} = x^{-1}$

2-) $(x^{-1})’$ = $-1.x^{-2}$ olur.

3-) Buradan da $\frac{1}{x}$ ‘in türevi $-x^{-2}$ = $-\frac{1}{x^2}$ olur.

4-) Yani 1 bölü x ifadesinin türevi $-\frac{1}{x^2}$ çıkmaktadır.

1/x’in İntegrali (ispatıyla birlikte);

1/x’in integralinde istisnai bir durum çıkıyor arkadaşlar. Normalde integral alma kuralımız bildiğiniz gibi üssü 1 arttırıp, arttırdığımız sayıya bölmemiz gerekiyor. Fakat $\frac{1}{x}$ yani $x^{-1}$ ifadesinde üssü 1 arttırıp böldüğümüzde sonuç olarak cevabımız $\frac{1}{0}$ değeri çıkıyor. Yani bu da tanımsız oluyor. Hemen adım adım anlatalım.

1-) $\frac{1}{x} = x^{-1}$

2-) $\int{(x^{-1}).dx}$ = $\frac{x^{-1+1}}{-1+1}$ olur.

3-) Buradan da $\frac{x^{0}}{0}$ yani cevabımız $\frac{1}{0}$ çıkar.

Halbuki 1/x’in integrali direkt olarak ln(x)‘dir.Bunu hepimiz ezbere biliriz.Ama böyle normal integral kuralını yaptığımızda cevap maalesef tanımsız çıkar.Peki bunun ispatı nasıl olur şimdi ondan bahsedelim.Arkadaşlar 1/x’in integralinin lnx’e eşit olmasının ispatı biraz uzundur diyebilirim.İspat için buradaki siteye bakabilirsiniz.Bende ispatını buraya eklemek isterdim fakat gerçekten şuan kafam karıştı size de yanlış bilgi vermek istemiyorum o yüzden inşallah ilerleyen dönemlerde yapabilirsem eklerim şimdilik verdiğim linkten bakarak anlamaya çalışın 🙂

Tekrardan söyleyelim $\frac{1}{x}$ ‘in integrali $ln(x)$ çıkmaktadır.Haliyle lnx’in türevi de $\frac{1}{x}$ olmaktadır.

Bu yazıda 1/x’in türevini ve integralini paylaştık. Umarız faydalı olur. Herkese iyi çalışmalar dileriz…