5 Elemanlı Bir Kümenin En Az 3 Elemanlı Alt Küme Sayısı Kaçtır?

Herkese iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere 5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır sorusunun cevabını paylaşacağız.

Matematikte kombinasyon ve permütasyon konularında karşımıza en çok çıkan soru tiplerinden birisi de bir kümenin alt küme sayıları toplamı tarzındaki sorulardır. Sorularda bazen kümenin en az 3 elemanlı, en az 2 elemanlı ya da en fazla 3 elemanlı, en fazla 2 elemanlı alt küme sayıları toplamı sorulabiliyor. Bu konuda ise sizlere bu tarz soru tiplerinin tek bir örnek ile çözüm mantığını anlatacağız. Şimdi soru ve cevabına geçelim.

Soru : 5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Cevap : Öncelikle arkadaşlar eğer soru “5 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı kaç alt küme sayısı vardır?” şeklinde olsaydı cevabımız 5’in 3’lü kombinasyonu olurdu. Yani cevabımız ${5 \choose 3}=10$ olacaktı. Fakat soruda “en az” ifadesi geçtiği için cevabımız da değişmiş oluyor. Soruda en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını sorduğu için cevabımız 3 elemanlı, 4 elemanlı ve 5 elemanlı alt küme sayılarının toplamı olacaktır. Yani mantık olarak cevabımız ${5 \choose 5} + {5 \choose 4} + {5 \choose 3}$ olmuş olacaktır. Bunların toplamı ise 16 çıkıyor. Şimdi görsel üzerinden çözümü yazalım.

Yani kısacası cevabımız C(5,5) + C(5,4) + C(5,3) = 1 + 5 + 10 = 16 olmaktadır. Bu şekilde toplamamızın amacı ise soruda en az yazdığı içindir. Eğer “en az” ifadesi geçmeseydi cevap direkt olarak C(5,3) olacaktı. Fakat en az 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını sorduğu için 5’in 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5’in 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı ve 5’in 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını toplamamız gerekiyor. İşte bunların toplamı da 16 etmektedir. Yani 5 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt küme sayılarının toplamı 16 etmektedir.

Mesela eğer soru: “5 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?” şeklinde olsaydı bu sefer de cevabımız C(5,5) + C(5,4) + C(5,3) + C(5,2) = 1 + 5 + 10 +10 = 26 olacaktı. Yani en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını isteseydi üstteki cevaba ek olarak 5’in 2’li kombinasyonunu alıp toplama yapacaktık. O da 26 olacaktı. Bu arada bu soruyu tam tersi “32 – ( C(5,0) + C(5,1) )” şeklinde yaparak da çözebilirsiniz. Çünkü 5 elemanlı kümenin tüm alt küme sayısı 2 üzeri 5’tir. Yani 32’dir. 32’den de istenmeyen kısmı çıkartırsanız istenilen cevaba ulaşabilirsiniz.