Kare Matrisin Karesi, Küpü ve N. Kuvveti Nasıl Alınır?

İyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere bir kare matrisin 2. kuvveti 3. kuvveti ve n. kuvveti nasıl alınır onu anlatacağız. Şimdiden iyi çalışmalar dileriz.

Matrisler matematikte en önemli konuların başında geliyor. Çünkü hem lisede hem de üniversitede karşımıza çıkabiliyor. Özellikle üniversitede lineer cebir dersi tamamen matrislerle ilgili bir derstir diyebiliriz. Matrislerde karşımıza çıkan soru tiplerinin başında kare matrisin ikinci kuvveti, üçüncü kuvveti ve n. kuvvetini almak geliyor. Şimdi sizlere kare matrisin kuvvetleri nasıl alınır onu gösterelim ve bir örnek ile konuyu daha iyi pekiştirmiş olalım.

Bir Kare Matrisin Kuvvetleri

A_nxn kare matrisi verilsin. Bu matriste;

==> $A^2=A.A$

==> $A^3=A.A.A=A^2.A$

==> $A^m.A^n=A^{m+n}$

==> $(A^m)^n=A^{m.n}$

şeklinde işlem yapılarak istenilen kuvvete ulaşılabilir. Yani bir kare matriste matrisin karesini ve küpünü bu şekilde alabiliyoruz. Buna ek olarak I birim matrisinin bütün kuvvetleri kendisine eşittir. Yani $I^n=I$ olur.

Şimdi kare matrisin kuvvetleriyle alakalı güzel bir örnek sorusu çözelim ve konumuzu tamamlamış olalım.

Örnek Çözümler

Soru :

$A=\displaystyle \begin{bmatrix}5&0\\0&1\end{bmatrix}$

olduğuna göre, $A^2$ , $A^3$ ve $A^n$ matrisleri kaçtır?

Cevap : Öncelikle A matrisinin karesini alalım. Ardından bunu tekrardan A ile çarparak üçüncü kuvvetini alalım. Sırayla işlemleri yapmaya başlayalım.

A^2 matrisi hesabı:

$A^2=\displaystyle \begin{bmatrix}5&0\\0&1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}5&0\\0&1\end{bmatrix}$

$A^2=\displaystyle \begin{bmatrix}5.5+0.0&5.0+0.1\\0.5+1.0&0.0+1.1\end{bmatrix}$

$A^2=\displaystyle \begin{bmatrix}25&0\\0&1\end{bmatrix}$ olarak bulunmuş olur. Şimdi $A^3$ ‘ü bulalım.

A^3 matrisi hesabı:

$A^3=A^2.A=\displaystyle \begin{bmatrix}25&0\\0&1\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}5&0\\0&1\end{bmatrix}$

$A^3=\displaystyle \begin{bmatrix}25.5+0.0&25.0+0.1\\0.5+1.0&0.0+1.1\end{bmatrix}$

$A^3=\displaystyle \begin{bmatrix}125&0\\0&1\end{bmatrix}$ bulunmuş olur.

A^n matrisi hesabı:

$A^n=\displaystyle \begin{bmatrix}5^n&0\\0&1\end{bmatrix}$ olarak çıkar.

İyi dersler dileriz.