0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir? 0! Neden 1? (Kanıtlı İspatı)

Herkese selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere 0 faktöriyel neden 1’e eşittir ispatıyla birlikte anlatacağız.

Faktöriyel denilince akla gelen ilk soru o!=1 ifadesidir. 0 faktöriyel neden 1’e eşittir bazı sınavlarda klasik soru olarak karşımıza çıkabilir. Haliyle sınavlarda bu ifadenin kanıtlı ispatı sorulabilir. Bu yüzden sizlere 0! neden 1’dir onun ispatını anlatacağız. Aslında birçok farklı yoldan ispatı yapılabiliyor fakat sizlere en kısa şeklini anlatacağız. Şimdi dilerseniz 0 faktöriyel neden 1’e eşit kısaca anlatalım.

0 Faktöriyel Neden 1’e Eşit? (İspatı)

Faktöriyelin genel açılımı veya formülü n!=1.2.3….(n-2).(n-1).n şeklindedir. Fakat bu ifadede n yerine 0 koyarsak sonuç 0!=0 olur. İşte bu yüzden klasik faktöriyel formülünü istediğimiz şekle dönüştürmemiz gerekiyor. Yani faktöriyel formülünü sonucun 0 olmayacağı şekle çevirmemiz lazımdır.

• Kullanmamız gereken n! açılımı ==> $n!=\frac{(n+1)!}{n+1}$ (n yerine 0 koyarsak n!=1 bulmuş oluruz)

Öncelikle n! ifadesini çarpım şeklinde yazabileceğimiz gibi bölüm olarak da yazabiliriz. Şöyle ki $n!=\frac{(n+1)!}{n+1}$ şeklinde yazabiliyoruz. Çünkü bu ifadenin açılımı $n!=\frac{(n+1)!}{n+1}=\frac{(n+1).n!}{n+1}$ oluyor. Yani burada n+1 ‘ler sadeleştiğinde n! kalmış olacak. Haliyle n! klasik formülünü $\frac{(n+1)!}{n+1}$ bu şekilde yazabiliyoruz. O zaman şimdi bu formülde n yerine 0 koyarsak 0!=1 ifadesine ulaşmış oluruz ve böylelikle 0 faktöriyelin 1’e eşit olduğunu ispatlamış oluruz. Görsel olarak da aşağıya çözümü ekleyelim.

Şimdi adım adım tekrar anlatalım:

Yukarıdaki resimde gördüğünüz gibi ilk olarak dönüşüm yapıyoruz.

• $n!=\frac{(n+1)!}{(n+1)}$ eşittir. Buradan;
• $n!=\frac{(n+1)!}{(n+1)}=\frac{(n+1).n!}{n+1}$ oluyor. Haliyle (n+1) ‘ler pay ve paydada olduğu için sadeleştirdiğimizde bu ifadenin n! ‘e eşit olduğunu görüyoruz.

O zaman n yerine 0 yazarsak yani n=0 alıyoruz;

• $0!=\frac{(0+1)!}{(0+1)}=1$ çıkar. Böylelikle 0!=1 ‘i kısaca ispatlamış oluruz.

Bu işlemler sonucunda 0!=1 buluyoruz yani ifadeyi kısaca ispatlamış oluyoruz. Yapacağımız tek şey n! formülünü n+1.n!/n+1 ‘e dönüştürmek. Buradan n yerine 0 koyarsak ifade 1’e eşit olur.