Bir Sayının Pozitif Tam Bölenlerinin Toplamı Nasıl Bulunur?

Herkese iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere bir sayının pozitif tam bölenlerinin toplamı nasıl hesaplanır onun formülünü paylaşacağız. Ayrıca örnek çözümleri yapacağız.

Matematikte kısayoldan hesaplanabilen bir çok formül mevcuttur. Bu formüller sayesinde soruları hızlı şekilde çözüme kavuşturabiliyoruz. Bu formüllerden birisi de bir sayının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamını hesaplayan formüldür. Biraz karışık gibi olsa da ezberlendiği taktirde unutulmaz diyebiliriz. Şimdi formüle ve örneklere geçelim.

Bir Sayının Pozitif Tam Bölenlerinin Toplamı Formülü

$A=x^a.y^b.z^c$ sayısının pozitif tamsayı olan bölenlerinin toplamı,

$t=(1+x+x^2+…+x^a).(1+y+y^2+…+y^b).(1+z+z^2+…+z^b)$ şeklinde hesaplanır.

Veya $t=\frac{1-x^{a+1}}{1-x}.\frac{1-y^{b+1}}{1-y}.\frac{1-z^{c+1}}{1-z}$ formülüyle hesaplanır. Yani öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırıyoruz. Ardından sayımızı $A=x^a.y^b.z^c$ şekline getiriyoruz. Sonrasında aşağıya veya yukarıda verilen formülde yerine koyuyoruz ve toplamını bulmuş oluyoruz. Formülün resmini büyük puntolarla aşağıya da eklemiş olalım.

Yani bir sayının pozitif tam bölenlerinin toplamının formülü ==> $t=\frac{1-x^{a+1}}{1-x}.\frac{1-y^{b+1}}{1-y}.\frac{1-z^{c+1}}{1-z}$ şeklindedir.

Şimdi bir iki örnekle konuyu daha iyi anlayalım.

Konu Hakkında Örnekler ve Cevapları

Soru 1: 120 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı nedir?

Cevap 1: Öncelikle 120 sayısını asal çarpanlarına ayırıyoruz. $120=2^3.3^1.5^1$ şeklinde ayrılır. Ardından pozitif tam bölenlerinin toplamını bulmak için verilenleri formüle yazıyoruz.

Yani sonuç olarak;

$\frac{1-2^{4}}{1-2}.\frac{1-3^{2}}{1-3}.\frac{1-5^{2}}{1-5}$ olur. Buradan da,

$\frac{-15}{-1}.\frac{-8}{-2}.\frac{-24}{-4}$ çıkar.

Yani sonuç olarak 15.4.6=360 cevabı bulunur. 120’nin pozitif tam bölenlerinin toplamı 360‘dır.

Soru 2: m ve n pozitif tamsayı olmak üzere $A=2^m.5^n$ sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı 42 olduğuna göre m+n kaçtır?

Cevap 2: $A=2^m.5^n$ olduğundan A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı;

$\frac{1-2^{m+1}}{1-2}.\frac{1-5^{n+1}}{1-5}=42$ olur. Buradan da payda 4 çıkar içler dışlar çarpımı yaparsak sonuç olarak;

$(2^{m+1}-1).(5^{n+1}-1)=168$ olur. Buradan da,

$(2^{m+1}-1).(5^{n+1}-1)=7.24$ çıkar. Akabinde bunu şu şekilde yazabiliriz,

$(2^{m+1}-1).(5^{n+1}-1)=(2^3-1).(5^2-1)$ biçiminde yazabiliriz.

Buradan da tabanlar aynı olduğu için üsler de aynı olur. Yani sonuç olarak m+1=3 ve n+1=2 olur.

Buradan da m=2 ve n=1 çıkar. Yani cevabımız m+n=3 olur.

Umarız yararlı olur. Herkese iyi çalışmalar ve iyi dersler dileriz.