Fonksiyonun Kritik Noktalarını ve Pozitif-Negatif Definitliğini Bulmak

Herkese merhabalar arkadaşlar bu yazımızda sizlere herhangi bir fonksiyonun kritik noktalarını ve akabinde pozitif-negatif definitliğini bulmayı göstereceğiz.Umarız faydalı olur.Şimdiden herkese iyi çalışmalar dileriz.

Öncelikle arkadaşlar bir fonksiyonun kritik noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun türevini alırız.Türevini aldıktan sonra köklerini kontrol ederiz.Ardından bulduğumuz kökler kritik noktaları yani ekstremum noktaları olur.

Ardından fonksiyonun pozitif ve negatif definitliğini ise bulduğumuz kritik noktaları Hessian matrisde yerine koyarak bakarız.Öncelikle bu bulduğumuz değerlerden bir Hessian matris oluştururuz.Ardından matrisin ilk satırındaki sayının 0’dan büyük ya da küçük olma durumuna bakarız.Sonra hessian matrisin determinantını alırız yine bunun 0 dan büyük ya da küçük oluşuna bakarız.Eğer her ikisi de 0’dan büyük çıkarsa bu fonksiyon pozitif definit olur.Eğer bir büyük bir küçük çıkarsa bu fonksiyon negatif definit olur.

Hemen bir örnekle konumuzu daha detaylı anlatalım.

Örnek= bu fonksiyonun kritik noktalarını bulalım ve pozitif-negatif definitliğine bakalım.

Cevap=

Öncelikle fonksiyonun x’e göre ve y’ye göre ayrı ayrı türevlerini alıyoruz ve alt alta 0’a eşitleyerek yazıyoruz.

Sonrasında ise buradan kökleri buluyoruz.Yani ayrı ayrı hem x için hem de y için bu eşitlikleri verecek kökler buluyoruz.Toplamda x ve y için 3 farklı değer bulacağız.Yani toplamda 3 tane kritik nokta bulacağız.

İlk denklemde x=0 olur.x=0 için ise 2. denklemde y=-2 çıkar.Yani ilk kritik noktamız (0,-2) olmaktadır.

Sonrasında ilk denklemde y’nin yerine üstteki denklemdeki 3x+2y=0 eşitliğinden y=-3x/2 yazarsak yukarıdaki resimde gördüğünüz gibi x=1 ve x=-4 çıkar.Buradan 2 durum daha oluşuyor.

x=1 için ilk denklemde yerine x=1 koyarsak y=-3/2 çıkar.Yani ikinci kritik noktamız (1,-3/2) olur.

3. ve son kritik noktamız ise x=-4 için denklemde yerine koyarsak y=6 çıkar.Son kritik noktamız ise (-4,6) olmaktadır.

Artık kritik noktalarımızı bulmuş olduk.Şimdi pozitif ve negatif definitliğine bakacağız.O yüzden Hessian matrislerimizi oluşturuyoruz.Hessian matrislerimizi oluşturmak için öncelikle fonksiyonumuzun 2. türevini alırız.Daha doğrusu şu şekilde olacak;

==>İlk satırın ilk sütununa fonksiyonun x’e göre aldığımız türevin tekrar x’e göre türevini alacağız.Yani x’e göre 2 türev birden alacağız.
==>İlk satırın 2. sütununu fonksiyonun x’e göre aldığımız türevin y’e göre türevini alarak yazacağız.
==>2. sütunun ilk satırını ise fonksiyonun y’e göre aldığımız türevin x’e göre türevini alarak yazacağız.
==>2. sütunun 2. satırını ise fonksiyonun y’e göre aldığımız türevin tekrar y’e göre türevini alarak yazacağız.

Bu adımları izleyerek yukarıda gördüğünüz gibi Hessian matrisimizi oluşturuyoruz.

Ardından teker teker kritik noktaları matriste yerine yazarak matrisimizi oluşturuyoruz.

1-)(0,-2) kritik noktası için;

İlk satır ilk sütundaki değerimiz -4<0 oldu.Matrisin determinantı ise 8>0 oldu.Yani bu kritik noktamız negatif definit olmuş oldu.

2-)(1,-3/2) noktası için;

İlk satır ilk sütundaki değerimiz 3>0 oldu.Matrisin determinantı ise -10<0 oldu.Yani bu kritik noktamız indefinit(yani belirsiz) olmuş oldu.

3-)(-4,6) noktası için;

İlk satır ilk sütundaki değerimiz -12<0 oldu.Matrisin determinantı ise -40<0 oldu.Yani bu kritik noktamız indefinit(yani belirsiz) olmuş oldu.

Eğer her ikisi de sıfırdan büyük çıksaydı pozitif definit olmuş olacaktı.

Herkese iyi çalışmalar dileriz…