Fourier Serisi ve Dönüşümü Konu Anlatımlı Örnek Çözümü

Bu matematik dersimizde sizlere fourier serisi ve fourier dönüşümüyle ilgili konu anlatımı ve örnek çözümler sunacağız.Umarız faydası olur.Herkese iyi çalışmalar dileriz…

Başlıklar

Fourier Serisi Nedir?

Bir Fourier serisi periyodik bir f(t) fonksiyonunun, kosinüslerinin ve sinüslerinin sonsuz toplamı biçiminde bir açılımdır.Formül olarak şöyle gösterebiliriz;

fourier-serisi-nedir

Başka bir deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon sabit bir değer, kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir.Onu da şöyle bir örnekle gösterelim;

fourier-serisi-nedir-2

Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak çözülmesi ve yeniden birleştirilip orijinal problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.

Bir Fonksiyonun Fourier Serisine Açılımı

Bir f(x) fonksiyonu periyodik ise, fonksiyonun T periyotu aşağıda verilen eşitliği sağlayan en küçük pozitif sayıdır.

bir-fonksiyonun-fourier-serisine-acilimi-1

Fourier analizinin esas teoremine göre periyodik bir f(x) fonksiyonu periyot içinde sonlu sayıda noktalar dışında tek değerli olarak tanımlı, sonlu sayıda ekstremuma haiz, kendisi ve birinci türevi parça parça sürekli ise

bir-fonksiyonun-fourier-serisine-acilimi-2

şeklinde tanımlanan seri, düzgün olarak f(x) fonksiyonuna yakınsar.f(x) fonksiyonun bu şekildeki açılımına Fourier açılımı, ak ve bk katsayılarına Fourier katsayıları; seriye ise Fourier serisi adı verilir.

Fourier serisi süreksizlik noktalarında fonksiyonun sağ ve sol değerlerinin ortalamasına yakınsar. Yukarıda verilen yakınsama şartlarına Dirichlet şartları adı verilir. Bu şartlar yeterlilik şartlarıdır. Yukarıda bir üstteki fonksiyonda verilen bağıntıda ak ve bk katsayıları aşağıdaki verilen örnekteki hesaplanır.

Fourier Serisi Örnekler ve Çözümleri

1. Örnek ve Çözümü;

Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi gösterimini bulunuz.

fourier-serisi-ornekler-1

Öncelikle fonksiyonun periyotu ve tanımı belirlenir.

fourier-serisi-ornekler-2

Sonrasında a0,an ve bn katsayıları bulunur.

a0 bu şekilde bulunur;

fourier-serisi-ornekler-3

Sonrasında an’i bulacağız ve an bu şekilde bulunur;

fourier-serisi-ornekler-4

Haliyle an bir tam sayıdır.ve sin(nπ)=0 olduğundan sinπ=sin2π=sin3π=…=0 aynı şekilde devam edecektir.Dolayısıyla an=0 olur.Şimdi bn’i bulacağız.

ve son olarak bn ise bu şekilde bulunacaktır;

fourier-serisi-ornekler-5

Dolayısıyla,

fourier-serisi-ornekler-6

Artık tüm istenilenleri bulduk.Sonuç olarak;

fourier-serisi-ornekler-7

Şeklinde soruda verilen dalga biçiminin Fourier serisi gösterimini bulmuş olduk.

2. Örnek ve Çözümü;

f(t)’nin grafiğini çiziniz.(-3<=t<=3)

f(t)’nin Fourier serisini hesaplanıyız.

Hemen çözüme geçelim;

Katsayıları hesaplayalım;

Sonuç olarak aşağıdaki denklemi buluruz.

YORUMLAR

  1. cok yuksek ihtimal A0 formülün yanlış

    1. 1. örnekteki a0 mı? Konudaki tüm formüller doğrudur efendim tekrar kontrol edebilir misiniz.

      1. 1. örnekte 2/T değilde 1/T olması gerekiyor a0=1/2 çıkıyor.

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir