Kapalı Fonksiyon Teoremi Örnek Soru ve Cevaplar

« PerİnstallCash Ödeme Kanıtı!

Örnek 1;
F (x,y) = y3+ 3x2y-x3+ 2x+3y =O denkleminin tüm geometrik yerinin her x için tan ımlı bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Cevap;

Her x için Fy = 3y2+ 3×2 +3 > 0 olduğundan F (x,y), her y için y ye göre artandır. O halde her x için F (x,f (x) ) = 0 olacak şekilde bir tek y =y (x) vard ır. Teoremin şartları sağlandığmdan f fonksiyonu her x için tanımlı, sürekli ve türevlenebilir.

Örnek 2;
F (x,y) = x2 -y2+4x+2y+3 =0 fonksiyonuna kapalı fonksiyonlar teoremini uygulayınız.

Cevap;

Fx = 2x+4, Fy =-2y+2 olduğuna göre y /1 (Fy-t0) olmak üzere geometrik yer üzerinde herhangi bir noktada y, x in bir fonksiyonudur.Keza x-t-2 olmak üzere x, y nin bir fonksiyonudur. Bununla beraber verilen denklem (y+x+1) (y-x-3) = 0 şeklinde yazılabilmesi nedeniyle geometrik yer üzerinde (-2,1) noktasında Fx = Fy = 0 dır ve bu durumda teorem geçerli değildir.

türevi (-2,1) noktasında belirsizdir. y+x+1=0 ve y-x-3 =O sisteminin ortak çözümü olan (-2,1) noktası, geometrik yerin iki katlı (double) bir noktasıdır. Teorem 1.6.2 çok say ıda değişken için de geçerlidir.

Örnek 3;
Her x,y için f in x-2 1 < h ve ;y-1-1 < h içinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir olması halinde
F (x,y,z) = 3×2 -1- 2y2+ z2+ 2xy 2yz 2xz-9 =O denkleminin geometrik yerinin bir parçasının z =f (x,y) yüzeyi üzerinde

|x-2|< h

|y+1| < h

|z+1| < h

kutusu içerisinde bulunabileceği sonucunu çıkarabilir miyiz ? z yi x ve y cinsinden çözünüz ve irdeleleyiniz.

Cevap;

x0 =2, yo = —1, zo = —1 d ır. Teorem 1.6.2’de (x i , x2, y) yerine (x,y,z) gelmiş oluyor.

Fz= 2z+2x-H2y, Fz(2,-1,-1) = 0 olduğuna göre (2,-1,-1) noktasısının komşuluğunda z, x ve y cinsinden yazılamaz.

Gerçek denklemden z çözülürse z = — (x+y) ± √9-2×2—y2 elde edilir. Her iki fonksiyonun tanım bölgesi 0 < 2×2+ y2 < 9 elips bölgesidir ve (2, —1) noktası bu bölgenin sınırı üzerindedir. Böylece şartları sağlayan kutu yoktur. Uzay analitik geometrideki bilgilerimizden (2, —1, —1) noktasında
F (x,y,z) = 0 yüzeyine teğet düzlem, z eksenine paraleldir.

Bunlara ek olarak önemli 4 maddeyi anlatalım;

1=F (u,v) ve G (u,v) bir bölgede türevlenebilir ise F ve G nin u ve v ye göre jakobiyen determinantı ya da kısaca Jakobiyeni

ile tanımlı ikinci basamaktan fonksiyonel determinantlar. Üçüncü ve daha yukarı basamaktan determinantlar benzer şekilde tanımlanır.Aşağıdaki özeliklerde tüm fonksiyonların sürekli türevlenebilir olduklarını kabul edelim.

2=F (u,v,x,y,z) = 0, G (u,v,x,y,z) = 0 denklemlerinin (örneğin) u ve v ye göre çözülebilmeleri için gerek ve yeter şart, bir bölgede