Kapalı Fonksiyon Teoremi Örnek Soru ve Cevaplar

Örnek 1;
F (x,y) = y3+ 3x2y-x3+ 2x+3y =O denkleminin tüm geometrik yerinin her x için tan ımlı bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.

Cevap;

Her x için Fy = 3y2+ 3×2 +3 > 0 olduğundan F (x,y), her y için y ye göre artandır. O halde her x için F (x,f (x) ) = 0 olacak şekilde bir tek y =y (x) vard ır. Teoremin şartları sağlandığmdan f fonksiyonu her x için tanımlı, sürekli ve türevlenebilir.

 

Örnek 2;
F (x,y) = x2 -y2+4x+2y+3 =0 fonksiyonuna kapalı fonksiyonlar teoremini uygulayınız.

Cevap;

Fx = 2x+4, Fy =-2y+2 olduğuna göre y /1 (Fy-t0) olmak üzere geometrik yer üzerinde herhangi bir noktada y, x in bir fonksiyonudur.Keza x-t-2 olmak üzere x, y nin bir fonksiyonudur. Bununla beraber verilen denklem (y+x+1) (y-x-3) = 0 şeklinde yazılabilmesi nedeniyle geometrik yer üzerinde (-2,1) noktasında Fx = Fy = 0 dır ve bu durumda teorem geçerli değildir.

Screenshot_2
türevi (-2,1) noktasında belirsizdir. y+x+1=0 ve y-x-3 =O sisteminin ortak çözümü olan (-2,1) noktası, geometrik yerin iki katlı (double) bir noktasıdır. Teorem 1.6.2 çok say ıda değişken için de geçerlidir.

 

Örnek 3;
Her x,y için f in x-2 1 < h ve ;y-1-1 < h içinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir olması halinde
F (x,y,z) = 3×2 -1- 2y2+ z2+ 2xy 2yz 2xz-9 =O denkleminin geometrik yerinin bir parçasının z =f (x,y) yüzeyi üzerinde

|x-2|< h

|y+1| < h

|z+1| < h

kutusu içerisinde bulunabileceği sonucunu çıkarabilir miyiz ? z yi x ve y cinsinden çözünüz ve irdeleleyiniz.

Cevap;

x0 =2, yo = —1, zo = —1 d ır. Teorem 1.6.2’de (x i , x2, y) yerine (x,y,z) gelmiş oluyor.

Fz= 2z+2x-H2y, Fz(2,-1,-1) = 0 olduğuna göre (2,-1,-1) noktasısının komşuluğunda z, x ve y cinsinden yazılamaz.

Gerçek denklemden z çözülürse z = — (x+y) ± √9-2×2—y2 elde edilir. Her iki fonksiyonun tanım bölgesi 0 < 2×2+ y2 < 9 elips bölgesidir ve (2, —1) noktası bu bölgenin sınırı üzerindedir. Böylece şartları sağlayan kutu yoktur. Uzay analitik geometrideki bilgilerimizden (2, —1, —1) noktasında
F (x,y,z) = 0 yüzeyine teğet düzlem, z eksenine paraleldir.

 

Bunlara ek olarak önemli 4 maddeyi anlatalım;

1=F (u,v) ve G (u,v) bir bölgede türevlenebilir ise F ve G nin u ve v ye göre jakobiyen determinantı ya da kısaca Jakobiyeni

jakobiyen

ile tanımlı ikinci basamaktan fonksiyonel determinantlar. Üçüncü ve daha yukarı basamaktan determinantlar benzer şekilde tanımlanır.Aşağıdaki özeliklerde tüm fonksiyonların sürekli türevlenebilir olduklarını kabul edelim.

2=F (u,v,x,y,z) = 0, G (u,v,x,y,z) = 0 denklemlerinin (örneğin) u ve v ye göre çözülebilmeleri için gerek ve yeter şart, bir bölgede
Screenshot_3

nin özdeş olarak sıfır olmamasıdır. Benzer sonuç, n değişkenli m denklem için geçerlidir. m < ıı

3=

Screenshot_4

4=u =f (x,y) ve v =g (x,y) ise u ile v arasında (Q) (u,v) =O şeklinde bağıntının olması için gerek ve yeter koşul,

Screenshot_3

nın özdeş olarak sıfır olmasıdır. Benzer sonuç n değişkenli n fonksiyon için geçerlidir.

 

Bunlara ek olarak kapalı fonksiyonlar teoremi ile ilgili bir kaç örnek sorular ile konumuzu bitirelim;

ör 1 ör 2

 

Herkese iyi çalışmalar dilerim…

YORUMLAR

Bir yanıt yazın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir