Kompleks (Karmaşık) Sayıların Kutupsal Gösterimi ve Örnek Çözümler

Herkese iyi günler dileriz arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere kompleks yani karmaşık sayıların kutupsal gösterilimi konu anlatımını ve örnek soru çözümlerini paylaşacağız.

Kompleks Sayıların Kutupsal Gösterilimi

z=x+iy karmaşık sayısının koordinat düzleminde gösterilişi aşağıdaki gibidir. Z noktasının noktaları (x,y) noktalarıdır.

Buradan bazı formüller çıkmaktadır.Onlar da şu şekildedir;

x=r.cosθ

y=r.sinθ

r=|z|=$\sqrt{x^2+y^2}$

θ=$tan\frac{y}{x}$

z kompleks sayısının argümanı arg z=θ olur.

z=x+iy=r.cosθ+i.r.sinθ ==> z=r(cosθ+i.sinθ)

Yani z kompleks sayısının kutupsal gösterilimi “z=r(cosθ+i.sinθ)” ifadesi çıkmaktadır.

θ(-π,π) ise θ ya z kompleks sayısının argümanının esas değeri “esas argüman” denir.

Arg z = θ ile gösterilir ==> arg z = Argz+2nπ (n=+-1,2,3)

Kutupsal gösterimin genel hali ==> z=|z|[cos(θ+2nπ) + isin(θ+2nπ)] (n=0,1,2,…) (-π<Argz≤π)

Kompleks Sayıların Kutupsal Gösterilişi Örnek Soru Çözümleri

Soru 1 = z=1+i sayısının kutupsal gösterilişi nedir?

Cevap 1 = Öncelikle x=1 ve y=1 olmaktadır. Ardından z kompleks sayısının modülünü alıyoruz 1+1=$\sqrt{2}$ olmaktadır.

Yani |z|=$\sqrt{2}$

Şimdi θ açısını bulmak için koordinat düzleminde z=1+i değerini çiziyoruz.Aslında hiç çizmemize gerek yok direkt olarak 1. bölgede ve açısı 45 derece olduğu anlaşılıyor.

Biz yinede üstte çizdik.Artık θ açımızı da biliyoruz geriye bulduğumuz değerleri genel denkleme koymak kaldı.Bu arada Argz=$\frac{π}{4}$ olmaktadır.Yani direkt θ açısı arg z ye eşit olduğu için böyle yazdık.

Son olarak z=1+i sayısının kutupsal gösterilişi z=$\sqrt{2}.(cos{\frac{π}{4}}+i.sin{\frac{π}{4}})$ çıkmaktadır.

Soru 2 = z=2-2i sayısının kutupsal gösterimini bulunuz.

Cevap 2 = Burada da aynı şekilde öncelikle x=2 ve y=-2 değerlerini yazıyoruz.Modülünü de |z|=$\sqrt{4+4}=2.\sqrt{2}$ çıkmaktadır.

Şimdi θ açımızı bulacağız.Yine geometriden faydalanıyoruz.Burada x pozitif ve y negatiftir.Yani 4. bölgede olmuş oluyor.

Gördüğünüz gibi 4. bölgede oluyor.O zaman açımız $\frac{π}{4}$ değil de $\frac{7π}{4}$ olmaktadır. Yani bu da $\frac{-π}{4}$ ‘e eşit oluyor.

Sonuç olarak z=2-2i sayısının kutupsal gösterilişi z=$2\sqrt{2}.(cos{\frac{-π}{4}}+i.sin{\frac{-π}{4}})$ olmaktadır.

Şimdilik bu kadar.Umarız faydalı olur.Herkese iyi çalışmalar ve iyi dersler dileriz…