Pascal Üçgeni Nedir? Nasıl Oluşturulur ve Özellikleri Nelerdir?

« Peru’nun Şehirlerinin İsimleri, Başkenti ve Ülke Haritası

Herkese iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere matematikte yer alan Pascal üçgeninin konu anlatımını ve detaylarını paylaşacağız.

Başlıklar

Pascal Üçgeni Nedir?

Pascal üçgeni, binom açılımında yer alan tüm katsayıları içeren üçgensel bir dizidir. Pascal üçgeninin Ömer Hayyam tarafından oluşturulduğu düşünülmektedir. Fakat ismi Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyismiyle anılmaktadır.

Binom açılımındaki katsayıları unutursanız hemen Pascal üçgeni çizerek katsayıları hızlı bir şekilde bulabilirsiniz. Öncelikle pascal üçgenini aşağıya ekleyelim ardından nasıl oluşturulur onun mantığını öğretelim.

Pascal üçgeni bu şekildedir. Pascal üçgeni sırasıyla binom açılımı katsayılarını vermektedir. Mesela 3. sıradaki “1-2-1” $x^2+2xy+y^2$ denkleminin baş katsayıları olmaktadır. Aynı şekilde “1-3-3-1” ise (x+y)’nin küp açılımı olan $x^3+3x^2y+3y^2x+y^3$ ifadesinin katsayılarını vermektedir. Bu şekilde sonsuza kadar devam ediyor diyebiliriz. Peki pascal üçgenini nasıl oluşturuyoruz şimdi onu anlatalım.

Pascal Üçgeni Nasıl Oluşturulur?

Pascal üçgeni oluşturmak oldukça kolaydır. İlk önce aşağıda gördüğünüz gibi 1. satıra 1 yazıyoruz. Ardından 2. satıra 1-1 yazıyoruz. Sonrasında ise köşelere her zaman 1 yazarak ortadakileri üsttekilerin ikisini toplayarak oluşturuyoruz. Yani mesela 3. satırdaki 2, 2. satırdaki 1 ve 1’in toplamıyla oluştu. Aynı şekilde 4. satırdaki 3, bir üstteki 1 ve 2’nin toplamıyla aşağıya eklenmiş oldu.

Daha iyi anlamak için yukarıdaki görsele bakabilirsiniz. Renkli yerde gördüğünüz gibi 1 ve 3’ün toplamı aşağıdaki 4’ü veriyor. Bu şekilde Pascal üçgeni sonsuza kadar ilerlemektedir.

Pascal Üçgeni Özellikleri Nelerdir?

Pascal üçgeni simetriktir. Sağ ve sol kenarları hep 1 olmaktadır. Ortadan dikey çizerek simetriyi görebilirsiniz.
Pascal üçgenindeki satırların toplamı 2’nin kuvvetini vermektedir. Mesela 1-2-1 satırına baktığımızda $1+2+1=2^2$ oluyor. Veya 1-3-3-1 satırına baktığımızda $1+3+3+1=2^3$ ifadesini vermektedir. Yani satırların toplamı her zaman 2’nin kuvveti oluyor.
Pascal üçgenindeki sayılar düz olarak yazıldığında ise 11’in kuvvetlerini vermektedir. Mesela $121=11^2$ oluyor. Veya $1331=11^3$ olmaktadır. Fakat sadece ilk 5 satırda bu özelliği görüyoruz. Çünkü diğerlerinde 10, 15, 20 gibi çift haneli sayılar olduğundan bu özellik aranmıyor.
Pascal üçgeni kullanılarak Fibonacci sayıları da bulunabiliyor.
Son olarak herkes biliyor fakat yinede yazalım. Pascal üçgenindeki sayılar binom açılımındaki harfli ifadelerin katsayılarını vermektedir. Bunun örneklerine aşağıdaki başlık altından bakabilirsiniz.