Polinomlarda Sabit Terim ve Katsayılar Toplamı Nasıl Bulunur?

Herkese iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere polinomlarda sabit terim ve katsayılar toplamı nasıl hesaplanır örnekler eşliğinde onu anlatacağız.

Polinomlar matematiğin en zevkli konularından birisidir. Öğrenmesi hem kolay hem de zevklidir diyebiliriz. Polinomdaki en önemli soru tiplerinden birileri de sabit terim ve katsayılar toplamı hesabı yapmaktır. Bu ikisi genelde polinom sorularında sorulabilmektedir. Bazen direkt sorulmasa da soru içerisinde geçmektedir. Şimdi örnekler eşliğinde sabit terim ve katsayılar toplamı nasıl bulunur konu anlatımını yapalım.

Polinomlarda Sabit Terim Nasıl Hesaplanır?

Bir polinomda değişkenlerin yerine 0 (sıfır) yazıldığında bu polinomun sabit terimi bulunmuş olur. Yani mesela P(x)=x+3 polinomunda x yerine 0 yazılırsa sabit terim bulunmuş olur. Yani bu polinomda sabit terim 0+3=3 olmaktadır. Şimdi 2 örnek yapalım ve konuyu daha iyi anlayalım.

Örnek 1: $P(x)=5x^2-4x^3+x-4$ olduğuna göre P(x-1) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Cevap 1: P(x-1) polinomunda x yerine 0 (sıfır) yazılırsa sabit terim P(-1) olur. Haliyle buna göre sorudaki denklemde x yerine -1 yazacağız. Böylece;

$P(x)=5x^2-4x^3+x-4$ buradan,

$P(-1)=5(-1)^2-4(-1)^3+(-1)-4$ olur.

Buradan da P(-1)=4 çıkar. Haliyle sabit terim 4 olur.

Örnek 2: $Q(x-2)=(x^2+x)x^3+4$ olduğuna göre Q(3x+1) polinomunun sabit terimi kaçtır?

Cevap 2: Q(3x+1) polinomunda x yerine 0(sıfır) yazılırsa sabit terim Q(1) olmuş olur. Buna göre soruda Q(1)’i bulmalıyız ki sabit terimi bulmuş olalım. Haliyle;

x-2=1 buradan da x=3 çıkar. Yani Q(x-2)’i Q(1) yapmak için x yerine 3 yazmamız gerekmektedir. Bu 3’ü sorudaki polinoma yazacağız. Yani;

$Q(x-2)=(x^2+x)x^3+4$ polinomunda x=3 için,

$Q(1)=(3^2+3).3^3+4$ olur. Buradan da,

Q(1)=328 bulunur. Yani sabit terim 328 çıkmaktadır.

Polinomlarda Katsayılar Toplamı Nasıl Hesaplanır?

Bir polinomda değişkenlerin yerine 1 (bir) yazılarak katsayılar toplamı bulunur. Yani polinom değişkenleri yerine 1 yazılıp hesaplanırsa katsayılar toplamı bulunmuş olur. Mesela x=1 için P(x)’in ve x=y=1 için P(x,y) ‘nin katsayılar toplamı bulunur. Şimdi örneklerle daha iyi anlayalım.

Örnek 1: P(x)=2x+5 ise P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevap 1: P(x+1) polinomunda x yerine 1 yazılırsa katsayılar toplamı P(2) olmuş olur. Buna göre;

P(x)=2x+5 polinomunda x yerine 2 yazacağız ki katsayılar toplamını bulalım.

P(2)=2.2+5=9 olur. Yani P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı 9 çıkmaktadır.

Örnek 2: $P(2x-1)=x^3+2x-8$ ise P(x-2) polinomunun katsayılar toplamı nedir?

Cevap 2: P(x-2) polinomunda x yerine 1 yazarsak katsayılar toplamı 1-2=-1’den P(-1) olmuş olur. Haliyle P(-1)’i bulursak katsayılar toplamını da bulmuş olacağız. Buna göre;

P(2x-1) ‘i P(-1) yapmak için x yerine 0 yazmamız gerekmektedir. O zaman P(2x-1) polinomunda x yerlerine 0 yazacağız ve sonucu katsayılar toplamı olacak.

Buna göre $P(2.0-1)=0^3+2.0-8$ olur. Buradan da P(-1)=-8 çıkar. Yani katsayılar toplamı -8‘dir.

Polinomun Çift Dereceli Terimlerinin ve Tek Dereceli Terimlerinin Katsayıları Toplamı Hesabı:

Ekstra Bilgi : P(x) polinomunun çift dereceli (kuvvetli) terimlerinin katsayılarının toplamı $\frac{P(1)+p(-1)}{2}$ ‘dir. P(x) polinomunun tek dereceli (kuvvetli) terimlerinin katsayılarının toplamı ise $\frac{P(1)-p(-1)}{2}$ olmaktadır.

Örnek 3: $P(x)=3x^4+2x^2-5x+2$ polinomunun çift dereceli terimlerinin ve tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır?

Cevap 3: Formülleri yerine koyacağız. Öncelikle kolaylık açısından P(1) ve P(-1)’i hesaplıyoruz. P(1)=2 ve P(-1)=12 çıkar. Haliyle;

Çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı ==> $\frac{P(1)+p(-1)}{2}$ değerlerini ayrı ayrı polinomda yerine koyuyoruz. Sonuç olarak $\frac{2+12}{2}=7$ çıkmaktadır. Yani çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı 7‘dir.

Tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı ==> $\frac{P(1)-p(-1)}{2}$ değerleri yerine koyarsak $\frac{2-12}{2}=-5$ olur. Yani tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı ise -5 çıkmaktadır.

Yazımızın sonuna geldik. Umarız faydalı olur. Anlamadığınız yerler varsa yorum bölümünden sorabilirsiniz. İyi çalışmalar iyi dersler dileriz.