Yüksek Mertebeden Türev Nasıl Alınır? (Örnek Soru ve Çözümler)

Selamlar değerli arkadaşlar bu yazımızda sizlere yüksek mertebeden türev nasıl alınır örnekli çözümleriyle birlikte anlatacağız.

Türev üniversite sınavlarında karşımıza en çok çıkan konuların başında geliyor. Türev konusu içerisinde ise bir fonksiyonun yüksek mertebeden türevleri konusu oldukça sorulabiliyor. Şimdi sizler için yüksek mertebeden türev almayı anlatalım. Ayrıca bir iki örnek ile konuyu daha iyi öğrenmiş olalım.

Bir Fonksiyonun Yüksek Mertebeden Türevleri

f’ fonksiyonu x noktasında türevlenebiliyorsa, f” fonksiyonunun türevine, f fonksyionunun 2. mertebeden türevi denir. f”(x) veya $\frac{d^2f(x)}{dx^2}$ ile gösterilmektedir. Aynı şekilde f” fonksiyonu da x noktasında türevlenebiliyorsa f fonksiyonunun 3. mertebeden türevi de f”'(x) veya $\frac{d^3f(x)}{dx^3}$ şeklinde gösterilmektedir. Bir fonkun yüksek mertebeden türevleri bu şekilde ilerlemektedir. Yani f fonksiyonunun 4. mertebeden türevi $f^{4}$ veya $\frac{d^4f(x)}{dx^4}$ biçiminde gösterilir.

Sonuç olarak f fonksiyonunun n. mertebeden türevi de $f^{n}(x)$ veya $\frac{d^nf(x)}{dx^n}$ şeklinde gösterilmektedir.

Yani yüksek mertebeden türevlerin gösterimi şu şekilde:

• Birinci (1.) mertebeden türev gösterimi ==> f'(x) veya $\frac{d.f(x)}{dx}$
• İkinci (2.) mertebeden türev gösterimi ==> f”(x) veya $\frac{d^2f(x)}{dx^2}$
• Üçüncü (3.) mertebeden türev gösterimi ==> f”'(x) veya $\frac{d^3f(x)}{dx^3}$
• Dördüncü (4.) mertebeden türev gösterimi ==> $f^{(4)}(x)$ veya $\frac{d^4f(x)}{dx^4}$
• Beşinci (5.) mertebeden türev gösterimi ==> $f^{(5)}(x)$ veya $\frac{d^5f(x)}{dx^5}$
• N. (n’inci) mertebeden türev gösterimi ==> $f^{(n)}(x)$ veya $\frac{d^nf(x)}{dx^n}$

Şimdi bazı örnekler çözelim.

Yüksek Mertebeden Türev Örnekleri ve Cevapları

Soru 1 : $f(x)=2x^4-2x^3+2x^2+3x-5$ fonksiyonunun 5. mertebeden türevi nedir?

Cevap : Sırayla 5 kere türev almamız gerekecek. O zaman sırayla işlemlerimizi yapalım.

$f(x)=2x^4-2x^3+2x^2+3x-5$ ==> f'(x) = $8x^3-6x^2+4x+3$

f”(x) = $24x^2-12x+4$

f”'(x) = $48x-12$

$f^4(x)=48$

$f^5(x)=0$ bulunur.

Buna göre fonksiyonun 5. mertebeden türevi 0 çıkmaktadır.

Soru 2 : $f(x)=e^{2x}$ olduğuna göre $f^{(70)}(x)$ kaçtır?

Cevap : Burada ilk olarak 1. 2. 3. 4. 5. türevini alacağız sonra bir seri bulacağız. Ardından 70. türevini otomatikman hesaplamış olacağız. Şimdi sırayla türevlerini alarak ilerleyelim.

$f(x)=e^{2x}$

1. 1. 1. türevi : f'(x) = $2.e^{2x}$
   2. 2. türevi : f”(x) = $2.2.e^{2x} = 2^2.e^{2x}$
   3. 3. türevi : f”'(x) = $2.2.2.e^{2x} = 2^3.e^{2x}$
   4. 4. türevi : $f^{(4)}(x) = 2.2.2.2.e^{2x} = 2^4.e^{2x}$
   5. 5. türevi : $f^{(5)}(x) = 2.2.2.2.2.e^{2x} = 2^5.e^{2x}$
   6. 6. türevi : $f^{(6)}(x) = 2.2.2.2.2.2.e^{2x} = 2^6.e^{2x}$

Bu şekilde devam eder ve 70. türevi ise şöyle olur.

$f^{(70)}(x) $ = 2.2.2.(burada toplam 70 tane 2 var).2.2.2.2.2.2.$e^{2x} = 2^{(70)}.e^{2x}$ çıkar. Haliyle cevabımız da bu olmuş olur.

Kısacası cevabımız ==> $f^{(70)}(x) = 2^{(70)}.e^{2x}$

Umarız yararlı olur. İyi çalışmalar dileriz…