y=x^2-sgn(1/x^2-1) Fonksiyonunun Tanım Aralığı Nedir? Grafiği Nasıl Çizilir?

Herkese merhabalar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere “y=x^2-sgn(1/x^2-1)” fonksiyonunun tanım aralığını ve grafiğini çizeceğiz. Bir takipçimiz bu şekilde bir soru gönderdi ve çözmemizi istedi. Şimdi detaylara geçelim.

Öncelikle arkadaşlar sgn(x) fonksiyonu işaret fonksiyonu anlamına gelmektedir. Yani sgn ifadesi kafanızı karıştırmasın. Normal soru çözer gibi bunu da çözebiliyoruz. Şimdi soruya ve cevabına geçelim. İyi dersler dilerim.

Soru : $y=x^2-sgn\frac{1}{x^2-1}$ fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz ve grafiğini çiziniz?

Cevap : Öncelikle bu fonksiyonun tanım aralığını bulmak için rasyonel sayıda pay-payda kontrolü yapıyoruz. Bu ifadenin tanımlı olabilmesi için en temel şart paydanın 0’dan farklı olmasıdır. Payda 0’a eşit olursa bildiğiniz gibi bu fonksiyon tanımsız çıkar. Bu yüzden paydanın yani $x^2-1$ ifadesinin 0’dan büyük veya 0’dan küçük olması gerekmektedir. 0’a eşit olmamalıdır. O zaman hemen işlemlere geçelim.

Yukarıda gördüğünüz gibi fonksiyondaki $\frac{1}{x^2-1}$ ifadesinde x kare -1’in o’dan farklı olması gerekiyor. İşte bu yüzden x^2-1=0 yaptık ve o’a eşit olan değerleri x=1 ve x=-1 bulduk. Sonuç olarak tanım kümesi 1 ve -1 hariç diğer tüm reeal sayılardır. Yani tanım kümesi : R – {1,-1} olacaktır.

Tanım kümesi : R – {1,-1}

Şimdi bu fonksiyonun grafiğini çizelim.

Fonksiyonun grafiği için öncelikle tanımsız olacak değerleri buluyoruz. x=1 ve x=-1 için fonksiyon tanımsız oluyordu. O zaman bu 2 değer üzerinden grafik çizimi yapacağız. Yani x<-1, -1<x<1 ve x>1 için 3 farklı grafik alanı çıkıyor. Bunu da kabataslak aşağıdaki gibi çizebiliyoruz.

Tabii ki bu normal grafik çizimi. Signum fonksiyonu yani işaret fonksiyonu için grafik çizimi farklı oluyor. Şimdi ona bakalım.

Sadece sgn(1/x^2-1) ifadesinin grafiği (signum fonksiyon grafiği) aşağıdaki gibidir:

Signum fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Fakat tüm sorudaki grafiği baz alırsak bir üstteki gibi oluyor. Signumdaki grafik yani işaret fonksiyonu grafiği yukarıdaki gibi çizilmektedir. Burada 1 ve -1 değerleri alamayacağı için onlar yuvarlak olarak çiziliyor. Eğer 1 ve -1 de alabilseydi yani fonksiyona 1 ve -1 verince tanımsız çıkmasaydı yuvarlağın içini boyayacaktık.

Tanım aralığı ve grafiği bu şekildedir. Umarız yararlı olur. İyi çalışmalar dileriz…