Özel Üçgenler Nelerdir? (3 4 5 – 5 12 13 – 8 15 17 – 7 24 25 Üçgeni ve Katları)

Herkese selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere geometrideki tüm özel üçgenler nelerdir onları anlatacağız.

Geometri üçgen sorularını çözerken en çok kullandığımız bağıntıların başında pisagor ve öklit bağıntıları gelmektedir. Özellikle dik üçgenlerde uzunluk hesaplamak için pisagor formülünü sıklıkla kullanırız. Fakat zamandan kazanmak için bazı özel üçgenleri ezbere bilmemiz gerekiyor. Mesela bir dik üçgende kenarların uzunluğu 6 ve 8 ise hipotenüsün 10 olduğunu ezbere bilip yazmamı gerekiyor. Yani bu tarz özel üçgenleri bilirsek soruları çok hızlı çözeriz ve zamandan kazanmış oluruz. Bu bakımdan sizlere tüm özel üçgenlerin (3 4 5 / 6 8 10 / 5 12 13 / 8 15 17 / 7 24 25 vb. gibi) katlarını ve uzunluklarını paylaşacağız. Mesela en çok 3-4-5 ‘in 2 ve 3 katı olan üçgenler sorularda geçiyor. 3-4-5’in 2 katı 6-8-10 ve 3 katı 9-12-15 üçgenleri en çok kullananlar arasında yer almaktadır. Şimdiden iyi çalışmalar ve iyi dersler dileriz.

Özel Dik Üçgenler ve Katları Nelerdir?

Geometride uzunluk açısından toplam 4 farklı özel dik üçgen mevcuttur. Bu üçgenler aşağıdaki gibidir:

• 3-4-5 üçgeni ve katları
• 5-12-13 üçgeni ve katları
• 8-15-17 üçgeni ve katları
• 7-24-25 üçgeni ve katları

En çok kullanılan özel dik üçgenler ve uzunluk katları bu şekildedir. Aslında illaki daha bu şekilde özel üçgen vardır fakat şuanda en çok bu 4 farklı üçgen kullanıyor. Hatta bunlardan en çok kullananı ise 3-4-5 üçgeninin katlarıdır. 7-24-25 en az kullananıdır.

Yukarıdaki görselde gördüğünüz gibi özel dik üçgenler ve katlarını sizlere yazdık. Şimdi yazı ile de paylaşmış olalım. Özel üçgenler ve uzunluk katları şu şekildedir:

3-4-5 (Üç Dört Beş) Üçgeni ve Pisagor Uzunluk Katları:

• 3-4-5 üçgeni ==> Pisagor formülü $3^2+4^2=5^2$ şeklindedir.
• 6-8-10 üçgeni ==> Pisagor formülü $6^2+8^2=10^2$ şeklindedir.
• 9-12-15 üçgeni ==> Pisagor formülü $9^2+12^2=15^2$ şeklindedir.
• 12-16-20 üçgeni ==> Pisagor formülü $12^2+16^2=20^2$ şeklindedir.
• 15-20-25 üçgeni ==> Pisagor formülü $15^2+20^2=25^2$ şeklindedir.

3-4-5 üçgeni bu şekilde katlanarak ilerlemektedir. 3-4-5’in 2 katı 6-8-10 uzunluklu özel dik üçgendir. 3-4-5’in 3’er katı olan 9-12-15 üçgeni de en çok kullanılan özel üçgenlerin başında geliyor. Kısacası 3-4-5 ‘in 2 ve 3 katları sorularda en çok karşımıza çıkan üçgenlerdir. Aynı şekilde 3 4 5 üçgeninin 4’er katı olan 12-16-20 üçgeni de bazı sorularda karşımıza çıkabilmektedir. Haliyle soruları hızlı çözmek açısından ilk 5 katını ezberleyebilirsiniz. Bu arada 3-4-5 üçgeninin pisagor formülü yukarıda yazdığımız gibi 3’ün karesi 9 + 4’ün karesi 16 = 5’in karesi 25’tir.

5-12-13 (Beş Oniki Onüç) Üçgeni ve Pisagor Uzunluk Katları:

• 5-12-13 üçgeni ==> Pisagor formülü $5^2+12^2=13^2$ şeklindedir.
• 10-24-26 üçgeni ==> Pisagor formülü $10^2+24^2=26^2$ şeklindedir.
• 15-36-39 üçgeni ==> Pisagor formülü $15^2+36^2=39^2$ şeklindedir.
• 20-48-52 üçgeni ==> Pisagor formülü $20^2+48^2=52^2$ şeklindedir.

5-12-13 üçgeni bu şekilde katlanarak ilerlemektedir. 5-12-13 ‘ün katları daha doğrusu 2 veya 3 katı sorularda fazla çıkmaz. Ama 5-12-13 üçgeni 3-4-5’den sonra en çok kullanılan üçgenlerin başında geliyor. Burada 5’in karesi 25 + 12’nin karesi 144 = 13’ün karesi 169’dur.

8-15-17 (Sekiz Onbeş Onyedi) Üçgeni ve Pisagor Uzunluk Katları:

• 8-15-17 üçgeni ==> Pisagor formülü $8^2+15^2=17^2$ şeklindedir.
• 16-30-34 üçgeni ==> Pisagor formülü $16^2+30^2=34^2$ şeklindedir.
• 24-45-51 üçgeni ==> Pisagor formülü $24^2+45^2=51^2$ şeklindedir.
• 32-60-68 üçgeni ==> Pisagor formülü $32^2+60^2=68^2$ şeklindedir.

8 15 17 üçgeni bu şekilde katlanarak ilerlemektedir.

7-24-25 (Yeni Yirmidört Yirmibeş) Üçgeni ve Pisagor Uzunluk Katları:

• 7-24-25 üçgeni ==> Pisagor formülü $7^2+24^2=25^2$ şeklindedir.
• 14-48-50 üçgeni ==> Pisagor formülü $14^2+48^2=50^2$ şeklindedir.
• 21-72-75 üçgeni ==> Pisagor formülü $21^2+72^2=75^2$ şeklindedir.
• 28-96-100 üçgeni ==> Pisagor formülü $28^2+96^2=100^2$ şeklindedir.

7 24 25 üçgeni bu şekilde katlanarak ilerlemektedir.

Bunun dışında da özel bazı dik üçgenler vardır. Şimdi sizlere bu özel üçgenlerin dışında kalan özel dik üçgenleri ve detaylarını yazalım.

45-45-90 Üçgeni ve Uzunlukları:

45-45-90 üçgeninde yani ikizkenar dik üçgende 45 derece uzunlukların kök 2 katı hipotenüsü vermektedir. Yani diyelim ki 45 derecenin karşısı 2 cm olsun. Haliyle hipotenüs 2 kök 2 olur. Yani hipotenüs $\sqrt{2}$ olmaktadır.

• Kısa kenar (45 derece) : x cm
• Kısa kenar (45 derece) : x cm
• Hipotenüs (90 derece) : x kök 2 cm

30-60-90 Üçgeni ve Uzunlukları:

30 60 90 üçgeni en çok kullanılan özel dik üçgenleri arasında geliyor. Bu üçgende 30’un karşısı x cm ise 90’ın karşısı ise 2x cm olmaktadır. 60’ın karşısı da x kök 3 oluyor. Yani diyelim ki 30 derecenin karşısı 5 cm olsun. O zaman hipotenüs 10 cm olur. 60’ın karşısı da 5 kök 3 olmuş olur. Aşağıdaki görselden bakabilirsiniz.

• Kısa kenar (30 derece) : x cm
• Kısa kenar (60 derece) : x kök 3 cm
• Hipotenüs (90 derece) : 2x cm

30-30-120 Üçgeni ve Uzunlukları:

Gelelim dik olmayan ama uzunlukları bilinen özel üçgenlere. 30-30-120 üçgeni de sıklıkla karşımıza çıkabiliyor. Burada 30’ar dereceli açıların karşı uzunlukları x cm olursa 120 derecenin karşı uzunluğu da x kök 3’e eşit olur.

• Kısa kenar (30 derece) : x cm
• Kısa kenar (30 derece) : x cm
• Uzun kenar (120 derece) : x kök 3 cm

15-75-90 Üçgeni ve Uzunlukları:

Fazla bilinmeyen özel üçgenlerden birisi de 15-75-90 üçgenidir. Burada öklit kuralından 15-75-90 üçgeninde 90 dereceden hipotenüse doğru çizilen dik uzunluk hipotenüs uzunluğunun 4’te 1’ine eşit olmaktadır. Yani aşağıdaki üçgende gördüğünüz gibi eğer hipotenüs uzunluğu 4x cm olursa, hipotenüse giden dik uzunluk ise x cm uzunluğunda olur. Bu öklit ve pisagor kurallarından gelen bir özelliktir.

• Hipotenüse giden kısa dik uzunluk : x cm
• Uzun kenar, Hipotenüs uzunluğu : 4x cm

Özel üçgenleri uzun bir şekilde anlatmak istedik. Umarız beğenirsiniz. Yazımızı beğenmeyi ve yorum yapmayı unutmayın. Geometri sorularınız olursa yorum kısmından sorabilirsiniz. Elimizden geldiğince hızlı şekilde cevaplayacağız. İyi çalışmalar ve iyi dersler dileriz…