Selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere elipsin analitik incelenmesi konu anlatımını ve örnek çözümleri paylaşacağız. Yazımızdan elips ile ilgili en önemli soru çözümlerine ulaşabilirsiniz. Şimdiden iyi dersler dileriz.
Analitik geometrinin en önemli konularının başında elipsler geliyor. Elipsin birçok denklemi bulunuyor fakat çoğu soruyu doğru çözmek için elipsin merkezil denklem formülünü iyi bilmemiz gerekmektedir. Çünkü soruların çoğu bu alandan geliyor. Şimdi elips denklemi ve örnek çözümleriyle kısaca sizlere konu anlatımı yapalım.
Elipsin Denklemi Nedir?
Elipsin genel denklemi = $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ bu şekildedir. Fakat elipsler odakları x ekseninde olan ve odakları y ekseninde olan elipslere göre farklı denklemde incelenir. (Daha doğrusu denklemde sadece a ve b’lerin yeri duruma göre değişebiliyor) Şimdi onu gösterelim.
Odakları x Ekseni Üzerinde Olan Elipsler
Odakları x ekseni üzerinde olan merkezil bir elips üzerinde değişken nokta P(x,y) olsun. Buna göre yapılan işlemlerin ardından odakları x ekseninde olan bir elipsin denklemi yani merkezil elips denklemi $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ çıkıyor. Normalde bu denklemin elde edilmesi için bazı ispatlar yapılıyor ve sonunda bu denklem bulunuyor. Biz uzun işlemleri yazmadık direkt denklem formülünü yazdık. Şimdi örnek çözümlere geçelim.
Örnek 1 = Büyük eksen uzunluğu 10 cm, küçük eksen uzunluğu ise 8 cm olan merkezil elipsin denklemini yazınız. (Not= Bu elipsin odak noktaları x ekseni üzerinde bulunmaktadır.)
Çözüm 1 = Büyük eksen uzunluğu 2a = 10 cm ise a= 5 cm’dir. Küçük eksen uzunluğu, 2b = 8 cm ise b = 4 cm’dir. Haliyle elipsimizin denklemi $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ olduğundan dolayı, verilenleri yerine yazarsak bu elipsin denklemi,
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ çıkar.
Veya diğer yazılışıyla bu elipsin denklemi $16x^2+25y^2=400$ olur.
Örnek 2 = Denklemi $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$ olan bir elipsin;
- 1) eksenlerinin uzunlukları
- 2) köşelerinin koordinatları
- 3) odaklar arası uzunluğu
- 4) odaklarının koordinatları
- 5) dış merkezliği
nedir?
Çözüm 2 = Verilen elips $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$ denkleminde $a^2>b^2$ olduğundan dolayı bu elipsin odakları x ekseni üzerindedir. Haliyle soruyu buna göre çözeceğiz.
1) $a^2=169$ olduğundan a=13 çıkar. Haliyle büyük eksen uzunluğu 2a=26 olur. $b^2=144$ olduğundan b=12 çıkar. Haliyle küçük eksen uzunluğu 2b=24 olur.
2) Asal köşeleri ==> A(a, 0) = (13, 0) ve A´ (-a, 0) = A´(-13, 0) çıkar.
Yedek köşeleri ==> B(0, b) = B(0, 12) ve B´ (0, -b) = B´ (0, -12) çıkar.
3) Odaklar arası uzunluğu $c^2=a^2-b^2$ olduğundan $c^2=169-144=25$ olur. Buradan da c=5 çıkar. Haliyle 2c=10 çıkar. Yani odaklar arası uzunluğu 10’dur.
4) Odaklarının koordinatları ==> F (c, 0) = F (5, 0) ve F´ (-c, 0) = F´ (-5, 0) olur.
5) Dış merkezliği formülü $e=\frac{c}{a}$ ‘dır. Haliyle sorudaki elipsin dış merkezliği $e=\frac{5}{13}$ olur. Dış merkezlik 5/13 ‘tür.
Odakları y Ekseni Üzerinde Olan Elipsler
Odakları y ekseni üzerinde olan merkezil bir elipsin denklemi $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ budur. Fakat burada a ve b noktaları aşağıdaki resimde gördüğünüz gibi farklı noktalardadır. Yani bazı kaynaklarda bu denklemin formülü $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ şeklinde geçer. Yani a ve b yer değiştirmiş olarak belirtilir. Ama aşağıdaki elips grafiğine göre denklem normal elips denklemidir. Eğer A ve B noktaları tam tersi yerde olsaydı yani A noktaları y ekseninde ve B noktaları x ekseninde olsaydı bu durumda yeni denklem formülümüz $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$ şeklinde olacaktı.
Örnek 3 = Denklemi $64x^2+25y^2=1600$ olan elipsin;
- 1) eksenlerinin uzunlukları
- 2) köşelerinin koordinatları
- 3) odaklar arası uzunluğu
- 4) odaklarının koordinatları
- 5) dış merkezliği
- 6) analitik düzlemde çizimi
nedir?
Çözüm 3 = Denklemde her iki tarafı 1600’e bölersek bu elipsin denklemi $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{64}=1$ olur. Haliyle $a^2<b^2$ olduğundan dolayı bu elipsin odakları y ekseni üzerindedir. Soruyu buna göre çözeceğiz.
1) $b^2=64$ olduğundan b=8 olur. Yani büyük eksen uzunluğu 2b=16 çıkar. $a^2=25$ olduğundan a=5 çıkar. Haliyle küçük eksen uzunluğu 2a=10 olur.
2) Asal köşeleri: B (0, b) = B (0, 8) ve B´ (0, -b) = B´(0, – 8) olur.
Yedek köşeleri: A (0, a) = A (0, 5) ve A´ (0, -a) = A´(0, – 5) olur.
3) Odaklar y ekseninde olduğu için odaklar arası uzunluk formülü $c^2=b^2-a^2$ olduğundan $c^2=64-25=39$ olur. Buradan da $c=\sqrt{39}$ çıkar. Haliyle $2c=2.\sqrt{39}$ çıkar. Yani odaklar arası uzunluğu $2.\sqrt{39}$ ‘dur.
4) Odaklarının koordinatları ==> F (0,c) = F (0, $\sqrt{39}$) ve F´ (0, -c) = F´ (0, $-\sqrt{39}$) olur.
5) Odaklar y ekseninde olduğu için dış merkezliği formülü $e=\frac{c}{b}$ ‘dir (Normalde c/a oluyor). Haliyle sorudaki elipsin dış merkezliği $e=\frac{\sqrt{39}}{8}$ olur. Dış merkezlik $\frac{\sqrt{39}}{8}$ ‘dir.
6) Sorudaki elipsin analitik düzlemdeki çizimi aşağıdaki gibidir;
Elips İle İlgili Diğer Formüller ve Denklemler
Elipsin teğet ve normal denklemi:
Denklemi $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ olan bir elipse üzerindeki P(x1,y1) noktasından geçen;
Teğetin denklemi $\frac{x_1.x}{a^2}+\frac{y_1.y}{b^2}=1$ olur.
Normalin denklemi ise $y-y_1=\frac{a^2.y_1}{b^2.x_1}.(x-x_1)$ ‘dir.
Herhangi bir noktadan elipse çizilen teğetin denklemi formülü:
$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ denklemli bir elipsin herhangi bir (m,n) noktasından geçen teğetin denklemi aşağıdaki gibidir:
$\frac{(n-k).y}{b^2}=1$
Elipsin basıklığı:
$\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}$
Elipsin dış merkezliği formülü:
$e=\frac{c}{a}$
Üzerindeki herhangi bir noktanın elipsin merkezine olan uzaklığı formülü:
$\sqrt{\frac{a^2.b^2}{b^2+(a^2-b^2).sina}}$
Elips parametresi:
$\frac{2b^2}{a}=2p$
Faydalı olması dileğiyle. Herkese iyi çalışmalar dileriz…
Görsel kaynaklar : meb.gov.tr
Bu Yazıya Tepkin Ne Oldu ?
Beğendim
Efsane
Teşekkürler
İyiymiş
Hahaha !
İnanılmaz
İlginç
Hatalı
