Çarpımın ve Bölümün İntegrali Nasıl Hesaplanır? (Formül ve Örnekler)

Herkese selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere çarpımın integrali nasıl bulunur, bölümün integrali nasıl hesaplanır onu anlatacağız.

Türev ve integral konusu matematiğin en önemli konuları arasında yer alıyor. Özellikle üniversite sınavlarında türev ve integralden çok soru karşımıza gelebiliyor. Türev ve integral çözerken bölüm ve çarpım türevi, bölüm ve çarpım integrali nasıl çözülür, kısa yoldan nasıl hesaplanır merak ediliyor. Daha önceki yazılarımızda bölüm ve çarpım türevi hakkında konu anlatımı paylaşmıştık. Buradaki yazıdan ulaşabilirsiniz. Şimdi ise sizlere bölüm ve çarpım integrali formülü var mı, nasıl bulunur onu anlatacağız. Şimdiden iyi çalışmalar dileriz.

Çarpımın İntegrali Nasıl Alınır, Formülü Var mı?

Aslında türevdeki gibi çarpımın ve bölümün integrali şeklinde bir kural mevcut değildir. Fakat çarpımın integrali deyince aklımıza 2 kural geliyor. İlki ∫a.f(x).dx = a.∫f(x).dx şeklindedir. Yani bir integralde katsayı ve fonksiyon çarpımı varsa ve bunun integrali alınacaksa o katsayı dışarıya çıkartılabiliyor.

Çarpım integrali örnek bir formül = ∫a.f(x).dx = a.∫f(x).dx

Bunun dışında hepimizin bildiği gibi LAPTÜ formülü mevcuttur. Eğer 2 tane fonksiyon çarpımı ve bunun integrali alınması isteniyorsa burada LAPTÜ uygulamamız gerekiyor.

LAPTÜ açılımı:

• L= Logaritmik fonksiyon
• A= Arctan (Ters trigonometrik) fonksiyon
• P= Polinom fonksiyonu
• T= Trigonometrik fonksiyon
• Ü= Üstel fonksiyon

Soruda verilen fonksiyonları LAPTÜ sırasına göre u veya v ‘ye eşitleyip gerekli işlemleri yaparız. LAPTÜ sırasında ilk olan fonksiyonu u’ya eşitleriz. Diğerini ise dx ile çarpıp integralini alarak işlemlere devam ederiz. Şimdi bir örnek ile daha iyi anlamış olalım.

Örnek : $\int{2x.ln2x.dx}$ integralinin eşiti nedir?

Cevap : Burada aslında çarpım integrali var. Burada yukarıda verdiğimiz 2. kuralı yani LAPTÜ kuralını uygulayacağız. Şimdi soruda 2 fonksiyonumuz mevcut. Bunlar 2x ve ln2x ‘dir. İlk olarak öncelik belirleyeceğiz. LAPTÜ sıralamasına göre u=ln2x diyoruz. Yani logaritmik fonksiyon ilk sırada olduğu için u’ya eşitliyoruz. Ardından 2x.dx=dv olacak. Şimdi adım adım çözümü anlatalım:

> u=ln2x ==> $du= \frac{1}{x}.dx$

> 2x.dx=dv ==> $x^2=v$

> $\int{ln2x.2x.dx}=ln2x.x^2-\int{x^2.\frac{1}{x}.dx}$

> $ln2x.x^2-\int{x.dx}$

> $ln2x.x^2-\frac{x^2}{2}+c$ sonucu çıkar. Cevabımız budur.

Kısacası dediğimiz gibi türevde çarpımın türevi formülü mevcut fakat integralde böyle bir durum yok. İntegralde çarpımın integrali olarak yukarıda anlattıklarımızı uygulayabilirsiniz.

Bölümün İntegrali Nasıl Alınır, Formülü Var mı?

Bölümün türevi formülü mevcuttur fakat maalesef bölümün integrali şeklinde bir formül bulunmuyor. Eğer integralde pay ve payda kesirli ifade varsa burada bilinmeyenleri sadeleştirme yaparak veya u-v dönüşümü yaparak integralin çözümüne gitmemiz gerekiyor. Çarpım integralinde olduğu gibi burada da eğer katsayılı bir bölüm varsa integral dışına çıkartabiliyoruz.

Örneğin : $\int{\frac{1}{5}.x^2.dx}=\frac{1}{5}.\int{x^2.dx}$

Ayrıca bölümün integrali tarzı sorularda genelde integral içerisinde bölüm türevi karşımıza çıkabiliyor. Yani soruda bölüm türevini kullanarak integral alabiliriz. Hemen kısaca bir örnekle konuyu daha iyi anlamış olalım.

Örnek : Bir f(x) fonksiyonunda f(1)=3 ve $\int{\frac{x.f'(x)-f(x)}{x^2}.dx}=lnx+c$ ise f(e) kaçtır?

Cevap : Bölüm türevi formülüne göre $\frac{f(x)}{x}$ ‘in türevi $\frac{x.f'(x)-f(x)}{x^2}$ olmaktadır. Demek ki $\frac{x.f'(x)-f(x)}{x^2}$ bu ifadenin integrali $\frac{f(x)}{x}+d$ çıkmaktadır.

O zaman $\frac{f(x)}{x}+d=lnx+c$ olur. Buradan da $\frac{f(x)}{x}=lnx+c-d$ çıkar. İçler dışlar çarpımı yaparsak $f(x)=x(lnx+c-d)$ olur.

Soruda f(1) verilmişti. Yerine koyarak c-d ‘yi bulacağız.

O zaman;

f(1)=1(ln1+c-d)=3 çıkar. Buradan da ln1=0 olduğu için c-d=3 çıkmaktadır.

Sonuç olarak;

f(e)=e.(lne+c-d) çıkar. Buradan lne=1 ve c-d=3 değerlerini yerine koyarsak cevabımız;

f(e)=e.(1+3) ==> f(e)=4e çıkmaktadır.

NOT = Arkadaşlar buradaki “e” sayısı x,y,z vb. gibi bir bilinmeyen sayı değildir. Buradaki e sayısı euler sayısıdır, yani yaklaşık 2.71’e tekabül ediyor. Bu yüzden lne=1 oluyor. Log e tabanında e 1’e eşit sonuçta, onun gösterimi de lne şeklindedir, bu da dediğimiz gibi 1 sayısına eşittir. Euler (e) sayısı aynı pi sayısı gibi bir sabittir onu demek istiyoruz. Normal bilinmeyen bir ifade değildir. Bu yüzden sorunun cevabı olan f(e)=4e yani f(e)=4.(2,71) ‘e denk geliyor diyebiliriz. Çarpma yaptığımızda 4e ifadesi de yaklaşık 10,84 ‘e eşittir. Ama bu soru sınavlarda sorulsaydı cevabı f(e)=4e şeklinde olacaktı.