cos(arcsinx) Türevi Nedir? cos(sin^-1x) ‘in Türevi Kaçtır? (Kısaca Çözümü)

Herkese iyi günler dileriz. Bu yazımızda sizlere cos(arcsinx) ifadesinin türevi nedir onu anlatacağız.

Elimizden geldiğince türev ve integral sorularının çözümlerini paylaşıyoruz. Türev integral matematiğin en zevkli konularından birisidir. Bu konuda çıkabilecek bazı kalıp sorular vardır. Bunlardan birisi de cos(arcsinx) tarzı bir sorudur. Bu sorunun çözümünü anlayarak sin(arcsinx), sin(arccosx) vb. her türlü trigonometrik ifadelerin iç içe geçmiş türevini alabilirsiniz. Şimdi sizlere kısaca cos(arcsinx) ifadesinin türevi nedir, türevi nasıl alınır onu anlatalım. Bu arada cos(arcsinx)=cos(sin^-1x) ‘e eşittir. Yani arcsinx ifadesi sinx’in tersi oluyor. Şimdi anlatıma geçelim.

cos(arcsinx) Türevi Kaçtır, Nasıl Bulunur?

Öncelikle arkadaşlar burada türev almadan önce arcsinx ifadesinin eşitini yazmamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi arcsinx sinx’in tersi demektir. Yani ters fonksiyon gibi düşünün. Arcsin’de sin’in tersi olmaktadır. Yani matematiksel olarak ifade etmek gerekirse;

$arcsinx=sin^{-1}x$ ifadesi birbirine eşittir.

O zaman yeni sorumuz buna dönüş olur:

$\frac{d}{dx}cos(arcsinx)=\frac{d}{dx}cos(sin^{-1}x)$

Şimdi adım adım cos(arcsinx) ‘in türevini alalım:

Öncelikle $\frac{d}{dx}cos(sin^{-1}x)$ ifadesinin türevini alırken ilk olarak normal dıştaki cos’un türevini alıp içini aynı şekilde yazıyoruz. Yani $-sin(sin^{-1}x)$ olacak. Ardından içinin türevini alıp çarpım olarak yanına yazıyoruz. Yani içinin türevi derken $sin^{-1}x$ bu ifadenin türevini alıp yanına çarpı olarak yazıyoruz. İçinin türevi de bildiğimiz arcsin’in türevidir. Yani $\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ çıkmaktadır. O zaman bu ikisini yan yana çarptığımızda cos(arcsinx) ‘in türevini almış olacağız. Birde $-sin(sin^{-1}x)$ ifadesi -x’e eşit olmaktadır. Çünkü sin çarpı sin’in tersi yaptığımız için burada sadece içindeki ifade kalmış olur. Yani diyelim ki sin.arcsin diye bir ifade var. Bunun cevabı doğrudan x çıkar. Bu da “$-sin(sin^{-1}x)$” aynı şekilde dışarıya -x olarak çıkmış olur. Yani cevabımız $\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ çıkmış olacaktır. Şimdi adım adım matematiksel olarak yazalım.

==> $\frac{d}{dx}cos(sin^{-1}x)=-sin(sin^{-1}x).\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

==> $-sin(sin^{-1}x).\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

Cevap : $\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

Sorunun çözümünü görsel olarak da sizlere paylaşalım:

İyi dersler ve iyi çalışmalar dileriz…