Düşey ve Yatay Asimptot Nasıl Bulunur? (Örnek Çözümler)

Herkese selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere düşey ve yatay asimptot nasıl hesaplanır örnek çözümlerle birlikte anlatacağız. Şimdiden iyi dersler dileriz.

Düşey ve Yatay Asimptot Nedir?

Bir fonksiyonun sonsuza giden uçları ile bir doğru veya eğri arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa söz konusu doğru veya eğriye, o fonksiyonun asimptotu denir.

A ⊂ R olmak üzere f:A→R, y=f(x) fonksiyonu ve a∈A verilsin.

f fonksiyonunun x=a noktasındaki soldan ya da sağdan limitlerinden en az biri +∞ ya da -∞ ise bu durumda x=a doğrusu, f fonksiyonunun bir düşey asimptotudur.

lim(x→-∞) f(x)=b, lim(x→+∞) f(x)=b eşitlerinden biri gerçekleşiyorsa y=b doğrusuna f fonksiyonunun bir yatay asimptotu denir.

Düşey ve Yatay Asimptot Nasıl Hesaplanır?

Düşey ve yatay asimptot hesaplamak için fonksiyonun (sonsuza göre veya paydayı sıfır yapan değere göre) sağdan ve soldan limitlerini almamız gerekiyor. Eğer düşey asimptot hesabı yapacaksak fonksiyonun paydasını sıfıra eşitleyen x değerini sağdan ve soldan limitini almalıyız. Eğer yatay asimptot hesabı yapacaksak bu durumda + ve – sonsuz değerlerine göre fonksiyonun sağdan ve soldan limitini almamız gerekiyor. Bu şekilde yatay ve düşey asimptotları hesaplayabiliriz. Şimdi örnek soru çözümleri yapalım ve konuyu daha iyi anlatalım.

Düşey ve Yatay Asimptot İle İlgili Örnek Soru Çözümleri

Örnek Soru 1: $f(x)=\frac{5x+3}{x-4}$ fonksiyonunun düşey asimptotunu bulunuz.

Çözüm: Düşey asimptotu bulmak için fonksiyonun paydasını sıfıra eşitlememiz gerekiyor. Yani sayı bölü sıfır sonsuz olduğu için aslında çözümü sonsuza götürmemiz gerekiyor ki düşey asimptotu bulmuş olalım.

x-4=0 olur. Yani x=4 tür. Aslında direkt olarak cevabımız 4 oluyor. Yani fonksiyonun düşey asimptotu 4’tür. Fakat bunu bir nevi ispatlamak için limitlerini almamız lazım çünkü – ve + sonsuz değerlerini bulmamız gerekiyor. Şimdi fonksiyonun limitini sağdan ve soldan alacağız. Yani 4⁺ ve 4^– değerlerine göre limit alacağız.

Buna göre denklemi x=4 olan doğru, f(x) fonksiyonunun düşey asimptotudur.

Örnek Soru 2: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ fonksiyonunun yatay asimptotlarını bulunuz.

Çözüm: Yatay asimptotları bulmak için limitte sağdan ve soldan – ve + sonsuz değerlerini hesaplamamız gerekiyor. Yani kısacası paydadaki x yerine + ve – sonsuz yazıcaz ve değeri bulmuş olacağız. Şimdi çözümü yapalım.

Eğrinin kolları x→-∞ ve x→+∞ iken y=0 doğrusuna yaklaşmaktadır. Buna göre y=0 doğrusu fonksiyonun yatay asimptotudur. Yani cevabımız 0 (sıfır) olmaktadır.

Örnek Soru 3: $f(x)=\frac{3x+2}{x^2-2}$ fonksiyonunun yatay ve düşey asimptotlarını hesaplayınız.

Çözüm: Kısaca paydayı sıfır yapan x değeri fonksiyonun düşey asimptotu olur. X’e sonsuz verdiğimizde çıkan sonuç ise fonksiyonun yatay asimptotu olur. Bu durumda sırayla çözüme gidelim:

$x^2-2=0$ => $x^2=2$ => $x_1=-\sqrt{2}$, $x_2=+\sqrt{2}$ ‘dir. Bu kökler, paydayı sıfır yapar payı sıfır yapmaz. O halde denklemi $x=-\sqrt{2}$ ve $x=+\sqrt{2}$ olan doğrular, f fonksiyonunun düşey asimptotudur.

lim(x→∞) $\frac{3x+2}{x^2-2}=0$ dır. Denklemi y=0 olan doğru, yani x ekseni f fonksiyonunun yatay asimptotudur.

Kısacası; düşey asimptotlar x=-kök2 ve x=+kök2 doğrularıdır. Yatay asimptotu ise y=0 olan doğrudur.

NOT = Eğer fonksiyonda x’ler yerine sonsuz yazdığımızda limitin cevabı yine sonsuz olursa bu durumda o fonksiyonun yatay asimptotu olmamaktadır. Yani x’e sonsuz dediğimizde cevabın bir sayı çıkması gerekiyor, eğer cevap +-∞ çıkarsa bu durumda o fonksiyonun yatay asimptotu yoktur. Ayrıca eğer fonksiyonun paydasında gerçek bir kök bulunmazsa bu fonksiyonun düşey asimptotu yoktur diyebiliriz. Yani bir fonksiyonun düşey asimptotunun olmaması için paydanın gerçek kökünün bulunmaması gerekmektedir. Buna göre problemleri hızlı bir şekilde çözebilirsiniz.