İki Vektör Arasındaki Açı Nasıl Bulunur? Formülü ve Örnek Çözümler

Herkese hayırlı günler dileriz. Bu yazımızda sizlere iki vektör arasındaki açı nasıl hesaplanır onu örneklerle birlikte detaylıca anlatacağız. Şimdiden iyi çalışmalar dileriz.

Özellikle analitik geometri, matematik analiz ve buna benzer derslerde soruların çözümü için vektörler arasındaki açıyı bulmamız gerekebiliyor. Bu yüzden bu yazımızda sizlere iki vektör arasındaki açı nasıl bulunur ispatıyla birlikte formülünü paylaşacağız. Ayrıca konu hakkında 2 tane de örnek problem çözümü yapacağız. Şimdi lafı uzatmadan anlatıma geçelim.

İki Vektör Arasındaki Açı Nasıl Bulunur?

İki vektör arasındaki açıyı formülünden hesaplayarak bulabiliyoruz. Şimdi bu formül nereden geliyor onun ispatını paylaşalım.

Formülün İspatı:

V ==> $\vec{V}=(a_1,b_1)$ ve U ==> $\vec{U}=(a_2,b_2)$ şeklinde 2 vektör olsun. Bunlar arasındaki açı ise $\theta$ olsun. Bu teta açısının kaç derece olduğunu bulmamız için bu iki vektöre kosinüs teoremi uygulamamız gerekmektedir. (Buradan kosinüs teoremi formülüne bakabilirsiniz.) İki vektör ve arasındaki açıyı sizin için aşağıya çizelim.

Haliyle kosinüs teoremi uyguladığımızda ifademiz $|\vec{VU}|^2=|V|^2+|U|^2-2|V|.|U|.cos\theta$ şeklinde olmaktadır. Buradan da açılım yaparsak;

$(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2=a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2-2|V|.|U|.cos\theta$ şeklinde olur. Buradan da,

$-2(a_1.a_2+b_1.b_2)=-2|V|.|U|.cos\theta$ olur. Buradan da formülümüz,

$\frac{a_1.a_2+b_1.b_2}{|V|.|U|}=\frac{a_1.a_2+b_1.b_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}= cos\theta$ olmuş olur.

Yani iki vektör arasındaki açıyı bulma formülünün son hali $cos\theta = \frac{x_1.x_2+y_1.y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$ olmuş olur. Buradan da en kısa hali $cos\theta = \frac{\vec{V}.\vec{U}}{||\vec{V}||.||\vec{U}||}$ çıkmış olur.

İki Vektör Arasındaki Açı Hesabı Formülü:

Şimdi gelelim konu hakkında 2 tane örnek çözüm paylaşmaya.

NOT = Burada 2 boyutta anlatım yaptık. Fakat 3 boyutlu uzayda da aynı formül kullanılarak iki vektör arasındaki açı hesaplanabilmektedir. 3 boyutlu olunca tek fark vektörlerin V=(x,y) şeklinde değil de V=(x,y,z) şeklinde 3 ifadeli olmasıdır. Burada da aynı şekilde cos tetayı hesaplamak için öncelikle pay kısmına iç çarpım yapıyoruz. Ardından paydaya vektörlerin uzunlarının çarpımını yazıyoruz. 2. örneğimiz 3 boyutlu vektördeki örnektir oraya bakarak daha iyi anlayabilirsiniz.

İki Vektör Arasındaki Açıyı Hesaplama İle İlgili Örnek Sorular

Soru 1 = $\vec{V}=(2,4)$ ve $\vec{U}=(-1,2)$ vektörleri arasındaki açı kaç derecedir?

Cevap 1 = Hemen formülümüzü uyguluyoruz. Yani cos teta;

$cos\theta = \frac{(2.-1)+(4.2)}{\sqrt{2^2+4^2}.\sqrt{-1^2+2^2}}$ şeklinde çıkmış olur. Buradan da gerekli sadeleştirmeleri yaparsak $cos\theta = \frac{6}{10}$ çıkmış olur. Buradan da teta açısını yalnız bırakmak için ifademizi $arccos\theta$ ‘ya çevirmemiz gerekiyor.

O zaman teta açısı (θ) $\theta = arccos(\frac{6}{10})$ çıkmış olur. Yani cevabımız da böyle çıkıyor. Tabi burada örnek yaptığımız için tam ifade çıkmadı ama sınavlarda vs. genelde hocalar tam açı çıkmasına dikkat ederler. Genelde cos teta 1, 1/2, 0 gibi sonuçlar çıkmaktadır. Ama tabi burada sayıları rastgele belirlediğimiz için tam sayılı sonuç çıkmayabiliyor.

Soru 2 = $\vec{A}=(1,1,1)$ ve $\vec{B}=(2,2,2)$ vektörleri arasındaki açı kaç derecedir?

Cevap 2 = Burada da aynı şekilde formülümüzü uygulayacağız. Tabi bu soruda vektörler 3 boyutlu gözüküyor ama merak etmeyin yine yukarıdaki formülle sonucumuzu bulabiliyoruz. Bu sefer x1,x2 olarak değil x1,x2,x3 olarak soruyu devam ettireceğiz. Yani vektörlerimiz $\vec{A}=(x_1,x_2,x_3)$ ve $\vec{B}=(y_1,y_2,y_3)$ şeklinde olacaktır. O zaman formülümüz $cos\theta = \frac{x_1.y_1+x_2.y_2+x_3.y_3}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}}$ biçiminde olur.

O halde formülümüzde sayıları yerine koyarsak $cos\theta = \frac{2+2+2}{\sqrt{3}.\sqrt{12}}$ olmaktadır. Buradan da $cos\theta = \frac{6}{6} = 1$ çıkmaktadır. Yani cosθ=1 olduğuna göre θ açısı 0 derece olmuş olur. Yani cevabımız θ = 0° olacaktır.

Yukarıdan da sorumuzun çözümüne resimle halde ulaşabilirsiniz.

Dersimizin sonuna geldik umarız yararlı olur. Anlamadığınız yerler varsa yorum bölümünden yazınız elimizden geldiğince yardımcı olmaya çalışırız. Teşekkürler herkese sınavlarda başarılar dileriz…