Sinüs ve Kosinüs Teoremleri – Örnek Çözümler

Herkese iyi günler dileriz.Bu yazımızda sizlere geometride önemli bir teorem olan sinüs ve kosinüs teoremlerini anlatacağız.Ek olarak bunlar hakkında örnek soru çözümleri de yapacağız.

Sinüs ve kosinüs teoremleri özellikle pisagor teoreminin bulunmadığı yerlerde kullanılmaktadır.Eğer bir üçgenin tek açısını ve 2 kenar uzunluğunu biliyorsanız diğer uzunluğu da bu teoremler sayesinde bulabilirsiniz.Lafı uzatmadan bu teoremleri anlatalım ve örnek soru çözümleri yapalım.

Sinüs Teoremi

ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a,b,c, iç açılarının ölçüleri; A,B,C ve çevrel çemberinin yarıçapı R ise bu çember ve üçgende;

bağıntısı vardır.Bu yukarıdaki teoreme sinüs teoremi denir.

Sinüs teoremini yukarıdaki gibi bir çember ve üçgen var ise yarıçapını bulmak için veya yarıçapını biliyorsanız açısını veya uzunluklarını bulmak için kullanabilirsiniz.Şimdi çözülü örneklere geçelim.

Sinüs Teoremi Örnek Çözümler

Soru 1-) Bir ABC üçgeninde m(A)=60° ve a=6√3 cm ise çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm dir?

Cevap 1-) Sinüs teoreminden, $\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6\sqrt{3}}{sin60°}$

Buradan da $\frac{6\sqrt3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$ den cevabımız R=6 cm çıkmış olur.

Soru 2-)

 Yandaki ABC üçgeninde m(ABC)=45° |AB|=8 cm |AC|= 4√2 cm m(ACB)=x ise sinx kaçtır?

Cevap 2-) Burada da aynı şekilde sinüs teoremi uygulayacağız.

$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{4\sqrt{2}}{sin45}=\frac{8}{sinx}$ olur.

Buradan da $\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{sinx}$ çıkar.

Son olarak $8=\frac{8}{sinx}$ den sinx=1 bulunmuş olur.

Kosinüs Teoremi

ABC üçgeninin kenar uzunları a,b ve c, iç açılarının ölçüleri A,B, ve C ise bu üçgende;

gibi bir bağıntı vardır.Bu bağıntıya kosinüs teoremi denir.

Kosinüs teoremini eğer üçgenin bir açısını ve 2 kenar uzunluğunu biliyorsanız 3. kenarının uzunluğunu bulmak için kullanabilirsiniz.Şimdi çözülü örneklere geçelim.

Kosinüs Teoremi Örnek Çözümler

Soru 1-) 

 Yandaki ABC üçgeninde |AB|=4 |AC|=5 |BC|=6 ve m(BAC)=α ise cosα kaçtır?

Cevap 1-) Burada da kösinüs teoremini kullanacağız.

a²=b²+c²-2bc.cosα

6²=4²+5²-2.4.5.cosα

36=16+25-40.cosα

-5=-40.cosα

Buradan da $cosα=\frac{1}{8}$ çıkmış olur.

Şimdilik bu kadar.Herkese iyi dersler ve sınavlarda başarılar dileriz…