İntegral Hesabı Formülü: İntegral Problemleri Nasıl Çözülür? İntegrallerin Hesaplanması

İntegral hesabında bir fonksiyonun integrali, belirli bir aralıkta fonksiyonun grafiği ile x ekseni arasındaki işaretli alanı temsil eder. Bir değişkenin o aralıktaki toplam etkisini veya birikimini ölçmenin bir yolunu sağlar.

Calculus’ta Integral, sabit miktarlar ve değişim hızları içeren çeşitli çeşitli problemlerin hesaplanmasında özel bir role sahiptir. Hacmi, alanı, olasılıkları değerlendirmemize ve sonsuz küçük değişikliklerin kümülatif etkilerini düşünerek bileşik düzenlemeleri incelememize olanak tanır.

İntegral hesabı daha fazla gelişme ve genişleme geçirdiğinden beri. Pierre-Simon Laplace, Augustin-Louis Cauchy ve Bernhard Riemann gibi birçok matematikçi, integral hesabın gelişimine katkıda bulunarak alana titizlik kattı ve uygulamalarını genişletti.

Bu yazıda, integral hesabın temel tanımını, integral formülünü, türlerini ve integral hesabını hesaplama prosedürünü örnekler yardımıyla ayrıntılı olarak tartışacağız.

İntegral Hesabı Nedir?

İntegral hesabı, bir fonksiyonun ters türevini belirleyerek elde edilen, bir eğrinin altındaki alanı veya bir aralıktaki miktarların birikimini bulmak için kullanılan matematiksel bir teknik olarak tanımlanabilir.

İntegral Formülü

İntegral hesabı için ve integralleri temsil etmek için belirli semboller kullanır.

∫g(x)dx = G(x) + k

İşte bu sembolleri anlamak için kılavuz aşağıdaki gibidir. İntegral hesabındaki sembollerin ve işaretlerin tanımı şöyle:

• ∫: integral sembolü
• g(x): integral işlevi
• dx: diferansiyel sembol
• G(x): Ters türev fonksiyonu g(x)
• k : Sabit entegrasyon

İntegral Hesabı Türleri

İntegral hesabı, her biri kendine özgü odak noktası ve uygulamaları olan farklı türler içerir. İşte iki ana integral hesabı türü.

Belirli integral:

Belirli integral, belirli bir aralıkta bir niceliğin net birikimini veya tam değerini hesaplar. Bir eğrinin altındaki alanı veya bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki toplam etkisini bulmanın bir yolunu sağlar.

Belirsiz integral:

Belirsiz entegrasyon, tersten yapılan bir türev alma işlemidir. İlk değerle ilişkili bir türevi olan bir fonksiyon üretir. Belirsiz integral ∫g(x) dx ile temsil edilir ve integral sabiti olan bir fonksiyonlar ailesiyle sonuçlanır. Genellikle diferansiyel denklemlere genel çözümler bulmak ve belirsiz integralleri değerlendirmek için kullanılır.

İntegral Hesaplama Adımları

İntegral hesabını hesaplarken izlenecek genel prosedürler ve genel adımlar aşağıdaki gibidir.

İntegrali tanımlayın

Entegre etmeniz gereken işlevi belirleyin. g(x) olarak gösterilecek veya belirli bir forma sahip olacaktır.

İntegrali basitleştirin

Mümkünse, entegrasyon sürecini kolaylaştırmak için cebirsel işlemler veya trigonometrik özdeşlikler kullanarak işlevi basitleştirin.

Entegrasyon süresini hesaplayın

İntegrali değerlendirmek istediğiniz aralığı veya limitleri belirtin. Bu, [a, b] veya (a, b) aralığını tanımlayacaktır.

Herhangi bir özel durumu tanımlayın

Fonksiyonun, çift veya tek fonksiyonlar, periyodiklik veya bilinen integral kimlikler gibi entegrasyonu basitleştirebilecek herhangi bir özel özelliği veya simetrisi olup olmadığını kontrol edin.

En uygun entegrasyon yöntemi

Entegrenin biçimine ve karmaşıklığına bağlı olarak en uygun entegrasyon tekniğini seçin. Yaygın yöntemler arasında temel entegrasyon kuralları, ikame, parçalara göre entegrasyon, kısmi kesirler, trigonometrik ikameler veya Laplace dönüşümleri veya Fourier serileri gibi özel entegrasyon teknikleri bulunur.

Entegrasyon yöntemini kullanın

Önceki aşamada seçtiğiniz entegrasyon yöntemini kullanın. Ters türevli veya belirsiz bir integral elde etmek için bu teknikle ilişkili belirli kuralları ve adımları izleyin.

Iraksama ve yakınsama

Uygun olmayan bir integral veya bir dizi fonksiyonla uğraşıyorsanız, uygun yakınsama testlerini veya özelliklerini kullanarak yakınsama veya ıraksama olup olmadığını kontrol edin.

Sabit entegrasyon

Ters türevi bulurken, entegrasyon sabitini (genellikle “K” olarak gösterilir) dahil etmeyi unutmayın. Bu sabit, bir sabitin türevinin sıfır olduğu gerçeğini açıklar.

Limitleri uygula (belirli integraller için)

Belirli bir integrali hesaplıyorsanız, üst limiti (b) ve alt limiti (a) ters türev fonksiyonunda değiştirin. Ortaya çıkan değerleri hesaplayın.

Nihai sonucu hesaplayın

Belirli integraller için, entegrasyonun üst ve alt sınırlarındaki ters türev değerlerini çıkarın. Belirsiz bir integralle çalışıyorsanız, sonuç altıncı adımda elde edilen ters türevdir.

İntegral Hesaplamalarına Örnekler

Örnek 1:

∫(7y⁴ + 5y + 2)dy integralini hesaplayın.

Çözüm:

Aşama 1:

Verilen fonksiyonun integrali ∫ (7y ⁴ + 5y + 2) dy’dir.

Adım 2:

Entegrasyon özelliğini kullanın.

= 7∫ y ⁴ dy+ 5∫ y dy+ ∫ 2dy

Aşama 3:

Kuvvet kuralı uygulayarak integrali alabilirsiniz.

= 7 (y ⁴⁺¹ /4+1) + 5(y ¹⁺¹ /1+1) + 2y + c

= 7(y ⁵ /5) + 5(y ² /2) + 2y + c

= (7/5) y ⁵ + (5/2) y ² + 2y + c

= 7/5 y ⁵ + 5/2 y ² + 2y + c

Adım 4:

Sonuç olarak cevabımız: ∫ (7y ⁴ + 5y + 2) dy = 7/5 y ⁵ + 5/2 y ² + 2y + c

İntegral hesaplama, uzun hesaplamalardan kurtulmak için integral hesabı problemlerini birkaç saniye içinde adımlarla çözen çevrimiçi bir kaynaktır.

Örnek 2:

∫ (4y ³ + 5y ⁴ + 2y) dy integralini hesaplayın.

Çözüm:

Aşama 1:

Verilen fonksiyonun integrali ∫ (4y ³ + 5y ⁴ + 2y) dy’dir.

Adım 2:

Entegrasyonu işleve uygulayın.

= 4∫ y ³ dy+ 5∫ y ⁴ dy+ 2∫ y dy

Aşama 3:

Yukarıdaki integrali kuvvet kuralına göre hesaplayın.

= 4 (y ³⁺¹ /3+1) + 5(y ⁴⁺¹ /4+1) + 2(y ¹⁺¹ /1+1) + c

= 4(y ⁴ /4) + 5(y ⁵ /5) + 2(y ² /2) + c

= (4/4) y ⁴ + (5/5) y ⁵ + (2/2) y ² + c

= y ⁵ + y ⁴ + y ² + c

Adım 4:

Bu nedenle cevap: ∫ (7y ⁴ + 5y + 2) dy = y ⁵ + y ⁴ + y ² + c çıkacaktır.

İntegral İle İlgili Kısa Soru ve Cevaplar

Soru 1:

İntegral hesabını tanımlayınız.

Cevap:

İntegral hesabı, bir fonksiyonun ters türevini belirleyerek elde edilen, bir eğrinin altındaki alanı veya bir aralıktaki miktarların birikimini bulmak için kullanılan matematiksel bir teknik olarak tanımlanabilir.

Soru 2:

İntegral hesabının temel amacı nedir?

Cevap:

İntegral hesabının temel amacı, alanları hesaplamak, birikmiş miktarları belirlemek ve ters türevleri bularak diferansiyel denklemleri çözmektir.

Soru 3:

İntegral hesabı günlük hayatta hangi alanlarda kullanılır?

Cevap:

İntegral hesabının günlük hayatta uygulandığı bazı alanlar şu şekilde:

• Hacim ve Alan
• Fizik ve Mühendislik
• Tıp ve Biyoloji
• Geometri ve Optik

Özet

Bu yazıda, integral hesabının temel tanımını, integral formülünü, integral hesabının türlerini ve integral hesabını hesaplama sürecini ayrıntılı olarak ele aldık. Ayrıca integral hesabı örneklerle anlatılmıştır. İntegral hesabı ve integral ile ilgili problemleri konumuzdan kolayca ve hızlı şekilde anlayabilirsiniz.