Bir Vektörün Başka Bir Vektör Üzerine Dik İzdüşüm Vektörü Nasıl Bulunur?

Selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere bir vektörün başka bir vektör üzerine dik izdüşüm vektörü nasıl alınır, nasıl hesaplanır örnek ile anlatacağız. Şimdiden iyi çalışmalar ve iyi dersler dileriz…

Bir vektörün başka bir vektör üzerine dik izdüşüm vektörü sınavlarda karşımıza çıkabilir. Bu yüzden en azından bir örnekle konuyu daha iyi anlayabiliriz. Şimdi ilk önce konu anlatımı ve ardından 1 örnek soru çözümü paylaşalım.

Bir Vektörün Başka Bir Vektör Üzerine Dik İzdüşüm Vektörü Nasıl Bulunur?

$\vec{a}$ vektörünün $\vec{b}$ vektörü üzerine dik izdüşümü $\vec{c}$ vektörü olsun. Hesaplama yapmak için yani c vektörünü bulmak için öncelikle $\vec{a}$ vektörü ile $\vec{b}$ vektörü arasındaki açı bulunur.

$<\vec{a},\vec{b}>$ = $||\vec{a}||.||\vec{b}||.cosa$

==> $cosa=\frac{<\vec{a},\vec{b}>}{||\vec{a}||.||\vec{b}||}$ olur.

Buradan $cosa=\frac{||\vec{c}||}{||\vec{a}||}$ olduğundan, $||\vec{c}||=||\vec{a}||.cosa$ olur.

$||\vec{c}||=||\vec{a}||.\frac{<\vec{a},\vec{b}>}{||\vec{a}||.||\vec{b}||}$ formülünden,

$||\vec{c}||=\frac{<\vec{a},\vec{b}>}{||\vec{b}||}$ ‘dir.

Haliyle dik izdüşüm vektörünün uzunluğu formülü aşağıdaki gibi çıkmaktadır:

$||\vec{c}||=\frac{<\vec{a},\vec{b}>}{||\vec{b}||}$

Dik izdüşüm vektörü de aşağıdaki gibidir:

$\vec{c}=\vec{I_b}.||\vec{c}||$ formülünden, $\vec{c}=\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}.||\vec{c}||$ olarak hesaplanmış olur.

• Formül = $\vec{c}=\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}.||\vec{c}||$

Kısacası dik izdüşüm vektörü formülü yukarıdaki gibidir. Buradan tüm soruların cevaplarını çözebiliriz. Şimdi bir örnek yapalım.

Bir Vektörün Başka Bir Vektör Üzerine Dik İzdüşüm Vektörü İle İlgili Örnek Soru Çözümü

Soru = $\vec{u}=-3\vec{e_1}+4\vec{e_3}$ vektörünün $\vec{v}=5\vec{e_1}+12\vec{e_2}$ vektörü üzerindeki diz izdüşüm vektörünü bulunuz.

Cevap = $\vec{u}$ vektörünün $\vec{v}$ vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü $\vec{a}$ olsun.

$\vec{u}=(-3,4)$ ve $\vec{v}=(5,12)$ olur. Buradan;

$<\vec{u},\vec{v}>=-3.5+4.12 = 33$ çıkar.

Dik izdüşüm vektörünün uzunluğunu hesaplarsak;

$||\vec{a}||=\frac{<\vec{u},\vec{v}>}{||\vec{v}||}=\frac{33}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{33}{13}$ birim bulunur. Yani 33/13 birimdir.

Sonuç olarak diz izdüşüm vektörü ise;

$\vec{a}=\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}.||\vec{a}||$

$\vec{a}=(\frac{5}{13},\frac{12}{13}).\frac{3}{13}$ çıkar. Buradan da;

$\vec{a}=(\frac{165}{169},\frac{396}{169})=\frac{165}{169}\vec{e_1}+\frac{396}{169}\vec{e_2}$ çıkar. Yani dik izdüşüm vektörü bu olmuş olur.

Sorunun cevabı = Dik izdüşüm vektörü = $\frac{165}{169}\vec{e_1}+\frac{396}{169}\vec{e_2}$ şeklindedir.