L’Hopital İle Limitin Türevi Nasıl Alınır? (L’Hopital Örnek Soru Çözümleri)

Selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere lopital ile limit türevi nasıl alınır örnekler eşliğinde onu anlatacağız. Bu yazımızda sizlerden gelen 2 soruyu cevaplandıracağız. Şimdiden iyi çalışmalar dileriz.

Limitte pay ve payda sonucu 0/0 veya ∞/∞ çıkıyorsa yani tanımsız ya da belirsiz çıkıyorsa bu durumda her iki tarafın türevini alarak cevabı bulabiliyoruz. İşte pay ve paydanın türevini birlikte alıp sonucu bulma işlemine L’hopital kuralı denir. Fakat bu kuralı uygulamamız için dediğimiz gibi fonksiyonun limiti 0/0 ya da sonsuz/sonsuz çıkması gerekiyor. Eğer bu iki sonuç çıkarsa bu durumda lopital yapabiliriz. Şimdi sizlere daha iyi anlaşılması için 2 farklı örnek soru çözümü yapalım.

L’Hopital İle İlgili Örnek Soru Çözümleri

Soru 1 : $lim_{x→\frac{π}{2}}{\frac{cos3x}{π-2x}}$ limiti kaçtır?

Cevap : Soruda x yerine π/2 yazdığımızda limit cos3π/2 / π-2.2/2 çıkıyor. Yani limitimiz 0/0 tanımsız çıkmaktadır. İşte bu yüzden lopital kuralı uygulayacağız. O zaman pay ve paydanın türevini almamız gerekiyor.

Yukarıdaki görselde gördüğünüz gibi her iki tarafın türevini aldığımızda yani $\frac{cos3x}{π-2x}$ ifadesinin pay ve paydalı şekilde ayrı ayrı türevini aldığımızda sonuç $\frac{-sin3x.3}{-2}$ çıkıyor. Haliyle burada belirsizlik veya tanımsızlık ortadan kalktığı için bu durumda x yerine π/2 yazıp cevabımıza ulaşıyoruz. Haliyle sonuç olarak cevabımız $\frac{-sin\frac{3π}{2}.3}{-2}$ çıkmaktadır. Burada sin270=-1 ‘e eşittir. Son olarak sadeleştirmeleri yaptığımızda cevabımız $\frac{-3}{2}$ çıkıyor.

Soru 2 : $lim_{x→π}{\frac{1-sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}(cos\frac{x}{4}-sin\frac{x}{4})}}$ limiti kaçtır?

Cevap : Burada da öncelikle x=π yazıp limitimizi alıyoruz. Değerleri yerine koyduğumuzda pay kısmı 1-1=0 çıkıyor. Payda kısmı ise 0 çıkmaktadır. Haliyle yine 0/0 belirsizliği meydana çıkıyor. Burada yine lopital uygulayabiliyoruz. Fakat bu soruda lopital uygulamadan önce bazı dönüşümler yapmamız gerekiyor. Çünkü direkt her iki tarafın türevini alınca sonuç yine 0/0 çıkıyor. Bu yüzden bazı trigonometrik dönüşümler yapıp sorumuza öyle devam ediyoruz. Dönüşüm yaptıktan sonra lopital uygulayacağız.

Yukarıdaki görselde adım adım anlattık fakat tekrardan üstünden geçelim. Öncelikle direkt lopital yaparsak yine sonuç 0/0 tanımsızlığı çıkıyor. Bu yüzden trigonometrik dönüşüm yapıp öyle işlemimize devam ettik. İlk başta pay ve paydayı 1+sinx/2 ile çarptık. Yani bir nevi genişletme yaptık. Sonrasında 1-sin^2 bulunca burada 1 yerine cos kare + sin kare yazdık. Haliyle burada pay kısmında cos kare kaldı. Altta da cos vardı. Haliyle birbirini götürdü ve fonksiyonun son hali cos/1+sin olmuş oldu. Sağ taraftan da cosx/4-sinx/4 geliyordu zaten. Yukarıdaki gibi yaptığımızda ve sonrasında türev aldığımızda cevabımız 1/kök2 çıkmış oldu. Yani 2. sorunun cevabı $\frac{1}{\sqrt{2}}$ veya $\frac{\sqrt{2}}{2}$ çıkmaktadır.

Herkese matematik derslerinde ve sınavlarında başarılar dileriz…

NOT = Bu arada arkadaşlar 0/0 veya sonsuz/sonsuz belirsizliği çıksa bile lopital yapmadan cevaba ulaşmak mümkün. Bu durumda limit kuralını yazarak da cevaba ulaşabilirsiniz. Lopitalsiz limitte genel türev kuralımız f'(x) = $lim_{h→0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ şeklindedir. Buradan da verilenleri yerine koyarak lopital yapmadan da cevaba ulaşabilirsiniz. Aynı şekilde sağdan ve soldan türevleri de kontrol edebilirsiniz. Fakat bu şekilde yapsanız yine belirsizlik çıkarsa bu durumda son çare lopitali kullanabilirsiniz.