Mükemmel Sayı Nedir? Mükemmel Sayı Bulma Formülü ve Örnekler

« Korozyona Karşı Alınabilecek Önlemler Nelerdir?

Herkese iyi günler dileriz arkadaşlar. Bu dersimizde sizlere matematikte yer alan mükemmel sayı nedir ve nasıl bulunur onu anlatacağız. Şimdiden iyi çalışmalar ve sınavlarınızda başarılar dileriz.

Başlıklar

Mükemmel Sayı Nedir?

Bir sayının kendisi dışındaki pozitif tam bölenlerinin toplamı eğer kendisine eşitse bu sayıya mükemmel sayı denir. Diğer bir deyişle, bir mükemmel sayı, kendisi de dahil bütün pozitif tam bölenlerinin toplamının yarısına eşittir. Zaten kendisini çıkarttığımızda diğer yarısı oluyor.

Mükemmel sayıya örnek vermek gerekirse mesela 6 sayısı birinci mükemmel sayıdır. 6’nın pozitif tam bölenleri 1, 2, 3 ve 6‘dır. Buradan kendisini yanı 6’yı çıkarttığımızda 1+2+3=6 olduğu için 6 bir mükemmel sayıdır diyoruz. Aynı şekilde mesela 2. mükemmel sayı 28’i ele alalım. 28’in pozitif bölenleri sırasıyla 1, 2, 4, 7, 14, 28’dir. Buradan sayının kendisini yani 28’i almayıp diğerlerini topladığımızda 1+2+4+7+14=28 çıkıyor. Haliyle 28 de mükemmel bir sayı olmuş oluyor. Bu şekildeki sayılar mükemmel sayı olarak adlandırılıyor.

Mükemmel Sayı Bulma Formülü

Geometrinin babası olarak adlandırılan Öklit mükemmel sayıları bulmak için bir formül geliştirdi. Formül şu şekildedir;

p ve 2^p-1 sayıları birer asal sayı olmak üzere, 2^p-1(2^p-1) formülü mükemmel sayıları vermektedir. Formülü resim olarak da aşağıya ekleyelim.

Formül bu şekildedir arkadaşlar. p=2 için mesela deneyelim. 2 sayısı hem asal hem de 2^p-1=2²-1=3 de asal olduğundan formülde yerine koyarız. Yani sonuç olarak;

2^p-1(2^p-1) = 2^2-1(2²-1) = 6 çıkmaktadır. Yani böylelikle 6 sayısı 1. mükemmel sayımız olmuş oldu. Diğerlerini de p için uygun değerleri vererek bulabiliyoruz. p asal sayıları için uygun olan ilk 10 sayı “p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607” şeklindedir. Bunun yanı sıra ilk 4 mükemmel sayı ise sırasıyla “6, 28, 496 ve 8128” olmaktadır. Şimdi bir iki örnek soru çözelim.

Mükemmel Sayı Örnek Çözümler

Soru 1-) Üçüncü sıradaki mükemmel sayı kaçtır? Formülle birlikte çözünüz.

Cevap 1-) Formüle göre 3. sıradaki asal sayımız 5’dir. 2,3,5 şeklinde ilerlediği için 5’i baz alıyoruz. Buna göre yukarıda verdiğimiz formülde p’nin yerine 5 yazacağız ve cevabımızı bulacağız. Yani sonuç olarak cevap 496 çıkmaktadır. Çözümüne aşağıdan ulaşabilirsiniz.

Soru 2-) En küçük 5. mükemmel sayı kaçtır?

Cevap 2-) Burada da aynı şekilde mükemmel sayı koşullarını sağlayan 5. sıradaki asal sayımızı bulacağız önce. Sonrasında formülde yerine koyup mükemmel sayımızı bulmuş olacağız. p değeri sırasıyla “2, 3, 5, 7, 13” şeklinde ilerlemektedir. 5. asal sayı 11 olmaz çünkü 11 sayısı asal ama diğer şart olan “2^p-1″ sayısının asal olma koşulunu sağlamıyor. Burada 11 yerine koyulduğunda sonuç 2047 çıkıyor. Ama 2047 sayısı 23’e tam bölündüğü için asal olmaz. Bu yüzden 11 değil bir sonraki asal sayı olan 13’ü ele alırız. 13 ise her 2 koşulu sağlıyor. Şimdi yerine koyup soruyu çözelim.

Haliyle yukarıda gördüğünüz gibi 5. sıradaki mükemmel sayımız yani en küçük 5. mükemmel sayı 33550336 olmaktadır.