Skaler ve Vektörel Çarpım Konu Anlatımı-Örnek Çözümler

Herkese merhabalar arkadaşlar bu yazımızda sizlere fizikde önemli bir yeri olan skaler ve vektörel çarpımın konu anlatımını ve bunlar hakkında bir kaç örnek çözümü paylaşacağız.Umarız faydalı olur.

Özellikle vektörler konusunda skaler ve vektörel çarpım çok kullanılmaktadır.LYS sınavında ve fizik 2 derslerinde daha çok karşımıza çıkan bu çarpımları iyi öğrenmemiz gerekmektedir.Şimdi lafı uzatmadan öncelikle skaler ve vektörel çarpım hakkında konu anlatımını sonra da bunlar hakkında örnek çözümler paylaşalım.

Skaler(İç Çarpım-Nokta Çarpım) Çarpım Konu Anlatımı

Öncelikle arkadaşlar skaler çarpımı 2 adımda inceleyeceğiz.Öncelikle 2 boyutluda sonra da 3 boyutlu da skaler çarpım nasıl yapılır onu öğreneceğiz.Ek olarak skaler çarpımın diğer isimleri iç çarpım ve nokta çarpımıdır.

2 Boyutlu(R²) Skaler Çarpım

 olmak üzere.

 ile  vektörlerinin skaler(iç) çarpımı;

olarak tanımlanmaktadır.Burada θ vektörlerin arasındaki açı olup;

şeklinde hesaplanmaktadır.Şimdi üç boyutlu yani uzayda skaler çarpımına bakalım.

3 Boyutlu(R³) Skaler Çarpım

 olmak üzere uzayda skaler çarpımı;

şeklinde yazılmaktadır.θ açısı ise aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

Şimdi de skaler çarpımın özelliklerine geçelim.

Skaler Çarpımın Özellikleri

1-)

2-)

3-)

4-)

Vektörel(Çapraz) Çarpım Konu Anlatımı

3 Boyutlu(R³) Vektörel Çarpım

Arkadaşlar vektörel çarpım iki vektörün birbiriyle çarpımı olduğu için bu çarpım 2 boyutluda olmaz haliyle 3 boyutluda olmaktadır.Hemen konu anlatımına geçelim.Ek olarak vektörel çarpımın diğer adı çapraz çarpımıdır.

gibi herhangi iki vektörün vektörel çarpımı;

 ile gösterilen tek bir vektör olup;

şeklinde yine bir vektördür.Burada;

  (θ vektörlerin arasındaki açı olup 0<θ<180 olmaktadır.)

olarak vektörel çarpımın doğal bir sonucu olarak elde edeceğimiz sonuçlardır.

 şeklinde vektör fonksiyonu  ve  vektörlerinin içinde bulundukları düzleme (dolayısıyla her iki vektöre de) dik olan sağ el yönünde bir vektör tanımlar.

Oluşan vektörel çarpım vektörünün şiddeti;

olarak belirlenmekle birlikte aynı zamanda düzlemde ve  vektörlerinin üzerine kurulan paralelkenarın alanına eşittir.

Vektörel (Çapraz) Çarpımın Özellikleri

1-)

2-)

3-)

4-)

5-)

6-)

7-)

😎   

9-) $(\overrightarrow{a}x\overrightarrow{w}).\overrightarrow{w}$ ifadesine üçlü skaler çarpım (veya   , ve  vektörlerinin kutu çarpımı) denir ve bunun mutlak değeri olan;

ifadesi (büyüklüğü), taban kenarları  ve  yüksekliği  olan bir prizmanın
hacmine eşittir.

Not= $(\overrightarrow{a}x\overrightarrow{w}).\overrightarrow{w}$ üçlü skaler çarpımını

olarak bir determinant şeklinde de hesaplayabiliriz. Dolayısıyla üçlü skaler çarpım;

determinantının açılımıdır.

Şimdi skaler ve vektören çarpımlarla alakalı örnek soru çözümlerine geçelim.

Skaler ve Vektörel Çarpımla İlgili Örnek Soru Çözümleri

Soru 1= u=(2,6) ve v=(-1,5) ise vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulunuz.

Cevap 1= Vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulmamız için bu iki vektörü skaler olarak çarpmamız gerekmektedir.

Buradan cosθ’yı 0.8682 olarak bulmuş oluruz.

Soru 2= u=i+2j-3k ve v=4i-5j-6k vektörleri verilmiştir.$\overrightarrow{u}x\overrightarrow{v}$ vektörel çarpımını ve aralarındaki açının sinüsünü bulunuz.

Cevap 2= Vektörel çarpımı direkt olarak determinantlı şekilde yapabiliriz.

$\overrightarrow{u}x\overrightarrow{v}$ = 

Buradan da -27i-6j-13k çıkmaktadır.

sinθ=$\frac{|uxv|}{|u||v|}$==

şeklinde çıkmaktadır.

Skaler ve vektörel çarpımların konu anlatımları ve örnek soru çözümleri bu şekildedir.Umarız faydalı olmuştur.Sınavlarda ve derslerde herkese başarılar dileriz…