Türeve Göre Fonksiyonun Artan ve Azalan Olduğu Nasıl Bulunur? (Örnekler)

Selamlar değerli arkadaşlar. Bu yazımızda sizlere bir fonksiyonun artan mı azalan mı olduğu nasıl anlaşılır, hangi aralıklara göre artan veya azalandır onu anlatacağız.

Fonksiyonun Artan veya Azalan Olduğu Nasıl Hesaplanır?

Fonksiyonlarda artan ve azalan olması türevine göre belirlenebiliyor. Öncelikle hangi noktalarda artan, azalan veya sabit fonksiyon olur onu yazalım.

f:(a,b) → R fonksiyonu (a,b) aralığında türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere;

• ∀x ∈ (a,b) için f'(x) > 0 ⇔ f fonksiyonu (a,b) noktasında artandır.
• ∀x ∈ (a,b) için f'(x) < 0 ⇔ f fonksiyonu (a,b) noktasında azalandır.
• ∀x ∈ (a,b) için f'(x) = 0 ⇔ f fonksiyonu (a,b) noktasında sabit fonksiyondur.

Yani fonksiyonun türevi sıfırdan büyük olursa bu fonksiyon artandır. Türev sıfırdan küçük olursa fonksiyon azalandır. Türevi sıfıra eşit olursa fonksiyon sabit fonksiyondur.

• Fonksiyonun türevi sıfırdan büyükse ==> Artan
• Fonksiyonun türevi sıfırdan küçükse ==> Azalan
• Fonksiyonun türevi sıfıra eşitse ==> Sabit fonksiyon

Kısaca bu şekilde ezberleyebilirsiniz. Şimdi örneklere geçelim.

Artan ve Azalan Fonksiyonlarla İlgili Örnek Sorular ve Çözümler

Soru = f : R → R, $f(x)=x^2-5x$ fonksiyonu veriliyor. Buna göre;

a) f(x) ‘in (-∞, 5/2) noktasında artan veya azalan olup olmadığını bulunuz.

b) f(x) ‘in (5/2, +∞) noktasında artan veya azalan olup olmadığını bulunuz.

Cevaplar = a) $f(x)=x^2-5x$ fonksiyonunun türevi f'(x)=2x-5 olur. Yani 2x-5=0 ise $x=\frac{5}{2}$ dir. Aşağıdaki tabloyu incelediğimizde x∈(-∞, 5/2) için f'(x) < 0 olduğundan f fonksiyonu bu aralıkta azalandır.

b) Yukarıdaki tabloda x∈(5/2, +∞) için f'(x)>0 olduğundan f fonksiyonu bu aralıkta artandır. Yani a şıkkının cevabı azalan, b şıkkının cevabı ise artan olacaktır.

Soru = f:R⁺ → R, $f(x)=3x.e^x$ fonksiyonunun artan olduğu aralığı bulunuz.

Cevap = İlk olarak fonksiyonun türevini alacağız. $f(x)=3x.e^x$ ==> $f'(x)=3.e^x+3x.e^x$

Fonksiyonun türevi $f'(x)=3.e^x.(1+x)$ olur.

f(x) artan ise $f'(x)=3.e^x.(1+x)$ > 0 dır. Yani fonksiyon artan ise türevi sıfırdan büyük olmalıdır.

Buradan x>0 olduğundan $3.e^x.(1+x)$ > 0 olmalıdır.

Türevi sıfırdan büyük olacağı için türevindeki ifadeler de sıfırdan büyük yani pozitif olmalı. O zaman e üzeri x her zaman sıfırdan büyük olacağı için diğer ifadenin negatif olmamasını sağlamalıyız. Yani;

$e^x$ daima pozitiftir. Yani 1+x > 0 ise x>-1 dir. Fonksiyonun tanım kümesi R⁺ olduğundan x > 0 olarak alırız.

Buradan f(x) fonksiyonunun (0, +∞) noktasında artan olduğunu buluruz. Yani fonksiyonun artan aralığı (0, +∞) aralığıdır.

Artan ve azalan fonksiyonlar hakkında konu anlatımı ve örnek çözümler bu şekildedir. Umarız yararlı olur. Herkese matematik derslerinde ve sınavlarında başarılar dileriz…